2008-江西卷理-07 单-椭圆

本题导读

本题结合向量数量积的直角特征，考查椭圆离心率的取值范围。核心在于将向量条件转化为圆的方程，进而通过圆与椭圆的位置包含关系建立几何不等式。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 已知 $F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，满足 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$ 的点 $M$ 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ()

A. $(0,1)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$　　　　D. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$ 判定动点 $M$ 的轨迹是以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆。
2. 依据“点 $M$ 总在椭圆内部”，转化为该圆完全被包裹在椭圆内部，从而得出圆的半径 $c$ 小于椭圆短半轴 $b$。
3. 利用 $b^2=a^2-c^2$ 进行代数变形，求出离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的取值范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$，所以 $M{F}_1\perp M{F}_2$， 由圆周角定理可知，动点 $M$ 的轨迹是以焦距 $F_1{F}_2$ 为直径的圆，其圆心为原点 $O$，半径为 $c$。

由于满足条件的点 $M$ 总在椭圆内部， 可知该圆完全落在椭圆内部，因此圆的半径 $c$ 必须严格小于椭圆的短半轴 $b$： $c<b⟹c^2<b^2$

将 $b^2=a^2-c^2$ 代入上式得： $c^2<a^2-c^2⟹2c^2<a^2⟹\frac{c^2}{a^2}<\frac{1}{2}$

因为离心率 $e=\frac{c}{a}>0$，两边开平方得： $0<e<\frac{\sqrt{2}}{2}$

故椭圆离心率的取值范围是 $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的几何性质与基本量关系 $b^2=a^2-c^2$；圆与椭圆的几何包含临界条件。
2. 核心方法：几何法转化条件。
3. 避坑指南：避免去设点 $M(x,y)$ 进行复杂的代数坐标运算。抓住椭圆在短轴方向最窄的几何特征，直接得出 $c<b$ 是最不易出错的解题路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由教材中双曲线/椭圆的焦点弦与焦点三角形的基本性质演变而来，考查圆锥曲线基本量之间的大小制约关系。
2. 结论推广: 若条件换为“满足 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$ 的点 $M$ 有且仅有两点在椭圆上”，则意味着圆与椭圆相切于短轴顶点，此时 $c=b⟹e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦