2008-江西卷理-20 解-二面角

本题导读

本题考查空间向量在立体几何中的综合应用。第一问通过截面截导轴线比例确立各交点坐标，利用向量数量积判定线线垂直从而获证线面垂直；第二问通过求解两平面的法向量计算出二面角的大小。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 如图，正三棱锥 $O-ABC$ 的三条侧棱 $OA,OB,OC$ 两两垂直，且长度均为 2. $E,F$ 分别是 $AB,AC$ 的中点，$H$ 是 $EF$ 的中点，过 $EF$ 的一个平面与侧棱 $OA,OB,OC$ 或其延长线分别相交于 $A_1,B_1,C_1$，已知 $O{A}_1=\frac{3}{2}$.

(1)证明：$B_1{C}_1\perp$ 平面 $OAH$;

(2)求二面角 $O-A_1{B}_1-C_1$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，通过 $E,F$ 坐标确定过它们的截面方程，进而求得 $B_1,C_1$ 的坐标。
2. 计算 $\overrightarrow{B_1{C}_1}$ 与平面内两条相交向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OH}$ 的数量积，若均为 0 则线面垂直。
3. 分别求出平面 $O{A}_1{B}_1$（即 $xy$ 平面）与平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的法向量，利用夹角公式求解二面角。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 以 $O$ 为坐标原点，分别以射线 $OA,OB,OC$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 由题意得相关顶点的坐标为： $O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2)$ 因为 $E,F$ 分别是 $AB,AC$ 的中点，所以 $E(1,1,0),F(1,0,1)$。 又 $H$ 是 $EF$ 的中点，可得 $H\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。

设平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 在 $x,y,z$ 轴上的截距分别为 $x_1,y_1,z_1$，其对应的平面方程为 $\frac{x}{x_1}+\frac{y}{y_1}+\frac{z}{z_1}=1$。 已知 $O{A}_1=\frac{3}{2}$，由图可知 $A_1$ 在 $OA$ 轴正半轴上，即 $x_1=\frac{3}{2}$。 将 $E(1,1,0)$ 和 $F(1,0,1)$ 代入平面方程中： $\{\begin{array}{l}\frac{1}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{y_1}=1\\ \frac{1}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{z_1}=1\end{array}⟹y_1=3,z_1=3$

所以可得交点坐标为 $B_1(0,3,0),C_1(0,0,3)$，从而有方向向量 $\overrightarrow{B_1{C}_1}=(0,-3,3)$。 又已知 $\overrightarrow{OA}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{OH}=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$， 分别计算它们与 $\overrightarrow{B_1{C}_1}$ 的数量积： $\overrightarrow{B_1{C}_1}\cdot \overrightarrow{OA}=0\times 2+(-3)\times 0+3\times 0=0⟹B_1{C}_1\perp OA$ $\overrightarrow{B_1{C}_1}\cdot \overrightarrow{OH}=0\times 1+(-3)\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{2}=0⟹B_1{C}_1\perp OH$ 因为 $OA\cap OH=O$，且 $OA,OH\subset$ 平面 $OAH$， 所以 $B_1{C}_1\perp$ 平面 $OAH$。

(2)解： 由题意知，平面 $O{A}_1{B}_1$ 即为 $xy$ 坐标平面，其一个标准法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$。 平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的方程为 $\frac{x}{\frac{3}{2}}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1⟹2x+y+z-3=0$，其对应的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(2,1,1)$。 设二面角 $O-A_1{B}_1-C_1$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|0\times 2+0\times 1+1\times 1|}{1\times \sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 所以，二面角 $O-A_1{B}_1-C_1$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的构筑；截面截距式方程的应用；利用法向量夹角求解二面角。
2. 核心方法：空间向量坐标法。
3. 避坑指南：第一问求 $B_1,C_1$ 坐标时，若采用传统的设未知数用共线向量推导会非常繁琐，巧妙利用三点轴截距式方程代入已知点可实现极简转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题依托两两垂直的特殊椎体形态，考查立体几何核心的位置关系与度量问题。
2. 结论推广: 若三条侧棱两两垂直，则任意过底边两中点的截面，其在其余两条侧棱上产生的截距必然相等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-15 填-二面角线面角
• 2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积
• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角