2007-大纲卷I理-19 解-线面角

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系及线面角计算。第一问利用面面垂直的性质定理和等腰三角形特征，通过平面几何计算证明线线垂直；第二问利用垂直特征建立空间直角坐标系，将直线与平面所成的角转化为方向向量与面法向量的夹角求解。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)）四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ . 已知 $∠ A B C = 4 5^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 22$ ， $S A = S B = 3$ .

(1) 证明: $S A ⊥ B C$ ；

(2) 求直线 $S D$ 与平面 $S A B$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

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第一问：

过 $A$ 在底面内作 $A H ⊥ B C$ 于 $H$ 。由于 $∠ A B C = 4 5^{\circ}, A B = 2$ ，在 $Rt △ A B H$ 中易求出 $B H = A H = 2$ 。

由面面垂直性质定理，侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，交线为 $B C$ ，且 $A H \subset$ 底面，故 $A H ⊥$ 平面 $S B C ⟹ A H ⊥ S H$ 。

在 $Rt △ S B H$ 中， $S B = 3, B H = 2 ⟹ S H = S B^{2} - B H^{2} = 1$ 。

在 $Rt △ S A H$ 中， $S A^{2} = S H^{2} + A H^{2} = 1^{2} + (2)^{2} = 3$ 。结合 $S A = 3$ ，验证勾股定理成立，说明 $S H ⊥ B C$ 。

由 $A H ⊥ B C$ 且 $S H ⊥ B C ⟹ B C ⊥$ 平面 $S A H ⟹ B C ⊥ S A$ 。

第二问：

以 $H$ 为原点，射线 $H C$ 为 $y$ 轴正方向， $H A$ 为 $x$ 轴正方向， $H S$ 为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

确定各个顶点的精确坐标，写出 $S D$ 。

求解平面 $S A B$ 的法向量 $n$ ，计算 $cos ⟨ S D, n ⟩$ 。

直线与平面所成角 $θ$ 满足 $sin θ = ∣ cos ⟨ S D, n ⟩ ∣$ 。

✅【答案】

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建立直角坐标系，使底面𝐴𝐵𝐶𝐷在𝑥𝑂𝑦平面内，取𝐵=(0,0,0),𝐶=(2√2,0,0),𝐴=(√2,√2,0),

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）证明：过点 $A$ 在底面 $A B C D$ 内作 $A H ⊥ B C$ ，垂足为 $H$ 。

在 $Rt △ A B H$ 中，因为 $∠ A B C = 4 5^{\circ}, A B = 2$ ，所以有： $A H = A B \cdot sin 4 5^{\circ} = 2 \times \frac{2}{2} = 2$ $B H = A B \cdot cos 4 5^{\circ} = 2 \times \frac{2}{2} = 2$

因为侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且两平面交线为 $B C$ ， $A H \subset$ 底面 $A B C D$ ， $A H ⊥ B C$ ，根据面面垂直的性质定理，可得： $A H ⊥ 平面 S B C$ 因为 $S H \subset$ 平面 $S B C$ ，所以 $A H ⊥ S H$ ，即 $△ S A H$ 是直角三角形。在 $Rt △ S A H$ 中，由勾股定理可求出 $S H$ 的长度： $S H = S A^{2} - A H^{2} = (3)^{2} - (2)^{2} = 1$

在 $△ S B H$ 中，因为 $S H = 1, B H = 2, S B = 3$ ，满足： $S H^{2} + B H^{2} = 1^{2} + (2)^{2} = 3 = S B^{2}$ 根据勾股定理的逆定理， $△ S B H$ 是直角三角形，且： $S H ⊥ B C$

由于 $A H ⊥ B C$ 且 $S H ⊥ B C$ ， $A H \cap S H = H$ ， $A H, S H \subset$ 平面 $S A H$ ，根据线面垂直的判定定理，可得： $B C ⊥ 平面 S A H$ 又因为 $S A \subset$ 平面 $S A H$ ，所以： $S A ⊥ B C$

（2）因为 $H A, H C, H S$ 两两垂直，以 $H$ 为坐标原点，射线 $H A, H C, H S$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $H - x y z$ 。

依据已知线段长度， $B C = 22, B H = 2 ⟹ H C = B C - B H = 2$ 。因为底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A D = B C$ 。各关键顶点的直角坐标分别为： $H (0, 0, 0), A (2, 0, 0), B (0, - 2, 0), S (0, 0, 1)$ $C (0, 2, 0)$ 因为 $O D = O A + A D = O A + B C$ ，其中 $B C = (0, 22, 0)$ ，所以点 $D$ 的坐标为： $D (2, 22, 0)$

由此计算相关向量： $S D = (2 - 0, 22 - 0, 0 - 1) = (2, 22, - 1)$ $S A = (2, 0, - 1), S B = (0, - 2, - 1)$

设平面 $S A B$ 的法向量为 $n = (x, y, z)$ ，根据法向量垂直特征建立方程组： ${n \cdot S A = 2 x - z = 0 n \cdot S B = - 2 y - z = 0$ 令 $z = 2$ ，解得 $x = 1, y = - 1$ 。故平面 $S A B$ 的一个法向量为： $n = (1, - 1, 2)$

设直线 $S D$ 与平面 $S A B$ 所成的角为 $θ$ 。 $sin θ = ∣ cos ⟨ S D, n ⟩ ∣ = \frac{∣ S D \cdot n ∣}{∣ S D ∣ \cdot ∣ n ∣}$ $S D \cdot n = 2 \times 1 + 22 \times (- 1) + (- 1) \times 2 = 2 - 22 - 2 = - 22$ $∣ S D ∣ = (2)^{2} + (22)^{2} + (- 1)^{2} = 2 + 8 + 1 = 11$ $∣ n ∣ = 1^{2} + (- 1)^{2} + (2)^{2} = 1 + 1 + 2 = 2$ 代入计算得： $sin θ = \frac{∣ - 2 2 ∣}{11 \times 2} = \frac{2 2}{2 11} = \frac{2}{11} = \frac{22}{11}$

所以，直线 $S D$ 与平面 $S A B$ 所成角的大小为 $arcsin \frac{22}{11}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直性质定理转化线面垂直（ $A H ⊥$ 面 $S B C$ ）、空间直角坐标系的构建、线面角的向量转换公式 $sin θ = ∣ cos ⟨ u, n ⟩ ∣$ 。

核心方法：空间向量坐标法。

避坑指南：

在第一问证明中，必须保证步步有因，特别要指明“交线为 $B C$ ”和“ $A H \subset$ 底面”这两个面面垂直性质定理的刚性前提条件，否则会产生严重的步骤扣分。

计算点 $D$ 的坐标时，注意底面是平行四边形，可通过向量等值关系 $A D = B C$ 精准平移推导，不要因视觉直觉看错正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质，是全国大纲卷I(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。

变式思考：本题的核心步骤（几何推导法、空间向量坐标法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。

知识关联：面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质相互关联，解答中综合运用了几何推导法、空间向量坐标法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

21.01空间向量及其运算

13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

2014-浙江卷文-20 解-线面角

2020-新高考II卷-20 解-立几综合

2008-江西卷理-20 解-二面角

∑ ( Math )

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2007-大纲卷I理-19 解-线面角

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