2023-甲卷文-07 单-椭圆焦点三角形

本题导读

本题考查椭圆的定义与标准方程，以及向量数量积的坐标与几何表示。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）设 $F_1,F_2$ 为椭圆 $C:\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的两个焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，若 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$，则 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=$（ ）

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化向量条件：由 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$ 可得 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，即 $△F_{1}P{F}_2$ 是以 $F_1{F}_2$ 为斜边的直角三角形。
2. 提取椭圆几何量：从椭圆方程中求出 $a^2,b^2$ 以及焦距 $2c$。
3. 建立方程求解：

• 方法一（几何定义法）：设 $|\overrightarrow{P{F}_1}|=m,|\overrightarrow{P{F}_2}|=n$。根据椭圆定义有 $m+n=2a$，根据勾股定理有 $m^2+n^2=(2c{)}^2$。联立利用完全平方公式可直接求出 $mn$。
• 方法二（坐标法）：设 $P(x,y)$，利用向量坐标运算和椭圆方程联立求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：几何定义与勾股定理结合法（最优解） 由椭圆方程 $C:\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 可知： $a^2=5,b^2=1$ 根据椭圆基本量关系 $c^2=a^2-b^2$ 得： $c^2=5-1=4⟹c=2$ 所以焦距 $|F_1{F}_2|=2c=4$。

因为 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=0$， 所以 $P{F}_1\perp P{F}_2$，即 $△F_{1}P{F}_2$ 是直角三角形。

设 $|\overrightarrow{P{F}_1}|=m,|\overrightarrow{P{F}_2}|=n$（其中 $m,n>0$）。 由椭圆的定义可知： $m+n=2a=2\sqrt{5}\text{(1)}$ 在 Rt$△F_{1}P{F}_2$ 中，由勾股定理可知： $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=4^2=16\text{(2)}$

将①式两边平方得： $(m+n{)}^2=m^2+2mn+n^2=(2\sqrt{5}{)}^2=20\text{(3)}$

将②式代入③式中得： $16+2mn=20⟹2mn=4⟹mn=2$

即 $|\overrightarrow{P{F}_1}|\cdot |\overrightarrow{P{F}_2}|=2$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的定义 $r_1+r_2=2a$、垂直向量的数量积关系。
2. 核心方法：整体代换法。无需具体求出焦半径 $m$ 和 $n$ 的精确值，利用完全平方式 $(m+n{)}^2=m^2+n^2+2mn$ 进行整体转换，可大幅提高运算速度。
3. 避坑指南：

• 避免盲目联立坐标方程：使用坐标法容易陷入繁琐的四次方程根式运算，在解析几何小题中，应优先考虑几何性质与定义。
• 基础量看错：易将 $a^2=5$ 误认为 $a=5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线与方程》中关于焦点三角形的经典习题。其高等数学背景为二次曲线的准线与焦半径性质。
2. 结论推广：

• 椭圆焦点三角形面积公式：设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，半焦距为 $c$。若焦点三角形 $△F_{1}P{F}_2$ 的顶角 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则该三角形的面积为 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$。
• 本题代入验证：本题中 $\theta =90^{\circ }$，则面积 $S=b^2\tan 45^{\circ }=1\times 1=1$。又因为 $△F_{1}P{F}_2$ 是直角三角形，其面积也可表示为 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{P{F}_1}|\cdot |\overrightarrow{P{F}_2}|$。故 $\frac{1}{2}|\overrightarrow{P{F}_1}|\cdot |\overrightarrow{P{F}_2}|=1⟹|\overrightarrow{P{F}_1}|\cdot |\overrightarrow{P{F}_2}|=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2010-湖北卷文-20 解-抛物线直线交点
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义