2023-乙卷文-16 填-外接球

本题导读

本题考查三棱锥的外接球，以及外接球球心的确定方法。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）已知点 $S,A,B,C$ 均在半径为 2 的球面上，$△ABC$ 是边长为 3 的等边三角形，$SA\perp \text{平面 }ABC$，则 $SA=$ _______.

🔍【思路分析】

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1. 分析底面外接圆几何量：底面 $△ABC$ 是边长为 3 的等边三角形。利用正弦定理可求出底面外接圆的半径 $r$。
2. 构建空间球心模型：

• 设球心为 $O$，球半径 $R=2$。
• 过底面 $△ABC$ 的外心 $O_1$ 作底面的垂线 $O_{1}O$，则球心 $O$ 必在垂线 $O_{1}O$ 上。
• 易知 $O_{1}O\parallel SA$。过 $SA$ 的中点 $D$ 作 $SA$ 的垂线（即 $SA$ 的中垂面），该面与 $O_{1}O$ 的交点即为球心 $O$。

3. 建立勾股方程求解：

• 由构造可知四边形 $O{O}_{1}AD$ 为矩形，故 $OD=O_{1}A=r$， $AD=O{O}_1$。
• 在直角三角形 $△ODA$ 中，利用勾股定理 $O{A}^2=O{D}^2+A{D}^2$（其中 $OA=R=2$），求出 $AD$，进而根据 $SA=2AD$ 算出结果。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

设球心为 $O$，外接球半径 $R=2$。底面等边 $△ABC$ 的外心为 $O_1$，外接圆半径为 $r$。 在边长为 3 的等边 $△ABC$ 中，由正弦定理满足： $2r=\frac{a}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}⟹r=\sqrt{3}$ 即 $O_{1}A=\sqrt{3}$。

过 $O_1$ 作平面 $ABC$ 的垂线，由球的对称性可知，球心 $O$ 必在此垂线上。 因为已知 $SA\perp \text{平面 }ABC$，所以 $O{O}_1\parallel SA$。

取 $SA$ 的中点为 $D$，连接 $OD$。根据球的性质，球心与弦中点的连线垂直于该弦，故 $OD\perp SA$。 因为 $O{O}_1\perp \text{平面 }ABC$，所以 $O{O}_1\perp O_{1}A$。 由 $OD\perp SA,O{O}_1\parallel SA$ 可知 $OD\perp O{O}_1$。 因此，四边形 $O{O}_{1}AD$ 为矩形。

根据矩形的对边相等性质： $OD=O_{1}A=\sqrt{3}$ $O{O}_1=DA=\frac{1}{2}SA$

连接球心与顶点 $A$，则 $OA=R=2$。 在 Rt$△ODA$ 中，由勾股定理可得： $O{A}^2=O{D}^2+D{A}^2$ $2^2=(\sqrt{3}{)}^2+D{A}^2$ $4=3+D{A}^2⟹D{A}^2=1$

因为 $DA>0$，所以 $DA=1$。 由于 $D$ 为 $SA$ 的中点，可得侧棱长为： $SA=2DA=2\times 1=2$

填空题答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥外接球半径公式、等边三角形外接圆半径计算、空间直角结构转化。
2. 核心方法：中心平移构造法（直角三角形轴向运算法）。利用球心到各顶点距离相等，转化为 $R^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$ 经典模型进行代数求解。
3. 避坑指南：

• 底面圆半径算错：易将等边三角形的外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ 错算为内切圆半径 $\frac{\sqrt{3}}{6}a$ 或中线长 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
• 空间位置关系混淆：必须严格依据矩形性质转换 $OD=O_{1}A$，防止因空间想象不准看错直角三角形的边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于多面体与球组合体的提升训练。属于经典的“一条侧棱垂直于底面”的三棱锥外接球通用结构考查。
2. 结论推广：

• 直棱柱/特殊棱锥外接球通用公式：若三棱锥（或四棱锥）有一条侧棱垂直于底面，或者该几何体属于直棱柱的一部分，设底面外接圆半径为 $r$，垂直于底面的高/侧棱长为 $h$，外接球半径为 $R$。
• 几何体各顶点到球心的距离恒满足统一方程关系： $R^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$
• 本题中 $R=2,r=\sqrt{3}$，高 $h=SA$。直接代入推广公式验证：$2^2=(\sqrt{3}{)}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2⟹4=3+\frac{S{A}^2}{4}⟹\frac{S{A}^2}{4}=1⟹S{A}^2=4⟹SA=2$。掌握该通式，遇到同类外接球问题可免去画图和线面垂直证明，直接列代数方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-16 填-球面距离
• 2008-浙江卷文-15 填-外接球体积
• 2008-福建卷文-15 填-补形求外接球