2008-浙江卷理-08 单-两角和差

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式、同角三角函数基本关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 若 $\cos \alpha +2\sin \alpha =-\sqrt{5}$，则 $\tan \alpha =$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

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1. 利用辅助角公式将已知方程变形为 $\sqrt{5}\sin (\alpha +\phi )=-\sqrt{5}$。
2. 确定 $\alpha$ 的值或其三角函数对应关系，结合商数关系求出 $\tan \alpha$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

将已知方程 $2\sin \alpha +\cos \alpha =-\sqrt{5}$ 左边利用辅助角公式变形： $\sqrt{2^2+1^2}\sin (\alpha +\phi )=-\sqrt{5}⟹\sqrt{5}\sin (\alpha +\phi )=-\sqrt{5}$ 其中 $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{5}},\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{5}}$。 由上式可得 $\sin (\alpha +\phi )=-1$，则： $\alpha +\phi =2k\pi -\frac{\pi }{2}⟹\alpha =2k\pi -\frac{\pi }{2}-\phi (k\in \mathbb{Z})$ 利用诱导公式求正切值： $\tan \alpha =\tan \left(-\frac{\pi }{2}-\phi \right)=\cot \phi =\frac{\cos \phi }{\sin \phi }=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=2$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $A\sin \alpha +B\cos \alpha =\sqrt{A^2+B^2}\sin (\alpha +\phi )$；诱导公式的化简。
2. 核心方法：整体变角法。
3. 避坑指南：计算出 $\sin (\alpha +\phi )=-1$ 后，注意利用诱导公式化简 $\tan (-\frac{\pi }{2}-\phi )$ 时符号的正负，奇变偶不变，符号看象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材三角恒等变换章节中关于“一元一次正余弦方程”求解的经典习题。
2. 结论推广：若 $a\sin \alpha +b\cos \alpha =-\sqrt{a^2+b^2}$，则 $\tan \alpha =\frac{a}{b}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数