2009-湖北卷文-05 单-双曲线准线

本题导读

考查圆锥曲线几何量。$\sqrt{4-b^2}=1$ 得 $b=\sqrt{3}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ 的准线经过椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的焦点，则 $b=$ ()

A. $3$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 双曲线 $a^2=b^2=2$，$c=2$，准线 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm 1$。
2. 椭圆焦点 $\left(\pm \sqrt{4-b^2},0\right)$，由准线经过焦点：$\sqrt{4-b^2}=1$。
3. 解得 $b^2=3$，$b=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ 中 $a^2=b^2=2$，$c=\sqrt{2+2}=2$，其准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm 1$。 椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，坐标为 $\left(\pm \sqrt{4-b^2},0\right)$。 由双曲线的准线经过椭圆的焦点，得 $\sqrt{4-b^2}=1$，解得 $b^2=3$，即 $b=\sqrt{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的准线与椭圆的焦点

核心方法：$x=\pm \frac{a^2}{c}$ 与 $\left(\pm \sqrt{4-b^2},0\right)$ 的横坐标相等

避坑指南：双曲线 $a^2=b^2=2$，$c=2$，准线 $x=\pm 1$；椭圆焦点横坐标 $\sqrt{4-b^2}=1$，得 $b=\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等轴双曲线 $x^2-y^2=2$ 的准线恰为 $x=\pm 1$，可作常识加速。

结论推广：椭圆焦点位置看分母大小：$x^2$ 下是 $4$，焦点在 $x$ 轴。

方法推广：得 $b^2=3$ 后注意 $b>0$ 取正根，不要顺手写成 $\pm \sqrt{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线