2008-湖北卷理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移向量法则以及正弦型函数对称轴的代数特征。通过平移后的解析式与已知对称轴建立方程求解参数。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 将函数 $y=3\sin (x-\theta )$ 的图象 $F$ 按向量 $\left(\frac{\pi }{3},3\right)$ 平移得到图象 $F^{\prime }$，若 $F^{\prime }$ 的一条对称轴是直线 $x=\frac{\pi }{4}$，则 $\theta$ 的一个可能取值是 ()

A. $\frac{5}{12}\pi$　　　　　B. $-\frac{5}{12}\pi$　　　　　C. $\frac{11}{12}\pi$　　　　　D. $-\frac{11}{12}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据向量平移“左加右减，上加下减”的规律，求出平移后的新函数 $F^{\prime }$ 的解析式。
2. 利用正弦函数在对称轴处取得最大值或最小值的性质，令自变量整体等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，解出 $\theta$ 的一般通项式，对比选项得出答案。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=3\sin (x-\theta )$ 的图象 $F$ 按向量 $\left(\frac{\pi }{3},3\right)$ 平移， 即图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位，向上平移 $3$ 个单位， 得到的新图象 $F^{\prime }$ 的解析式为： $y=3\sin \left(x-\frac{\pi }{3}-\theta \right)+3$

因为直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 是 $F^{\prime }$ 的一条对称轴， 所以当 $x=\frac{\pi }{4}$ 时，正弦函数的相位部分满足： $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{3}-\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

化简得： $-\frac{\pi }{12}-\theta =\frac{\pi }{2}+k\pi ⟹\theta =-\frac{7\pi }{12}-k\pi (k\in \mathbb{Z})$

当 $k=-1$ 时，可得： $\theta =-\frac{7\pi }{12}+\pi =\frac{5\pi }{12}$

对应 A 选项。 正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的平移公式；正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的对称轴方程为 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$。
2. 核心方法：图象平移变换法与整体代换法。
3. 避坑指南：由图象按向量 $(\Delta x,\Delta y)$ 平移时，解析式变化为 $y-\Delta y=f(x-\Delta x)$，极易将向右平移误代入为加号；求对称轴的相位时，切记是 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，而不是 $k\pi$（$k\pi$ 对应的是对称中心点）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是三角函数核心图象变换与性质的常规综合题，源于对课本中平移规律和对称性定义的直接变形考查。
2. 结论推广: 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 沿向量 $(h,k)$ 平移后，新函数的对称轴方程整体满足 $\omega (x-h)+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数