2008-湖北卷理-06 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合中的经典非均匀分组分配模型。需要先将 5 名志愿者分成符合要求的 3 个组，再将 3 个组分配到 3 个不同的场馆中。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ()

A. 540　　　　　　B. 300　　　　　　C. 180　　　　　　D. 150

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：分组。将 5 人分成 3 组，要求每组至少 1 人。整数分拆 5 的可能结构只有两种情况：$(3,1,1)$ 型或 $(2,2,1)$ 型。
2. 第二步：分配。计算出每种分组方案的组合数，由于含有相同人数的分组，注意消去重复排列，最后乘以场馆的全排列 $3!$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

将 5 名志愿者分成 3 组，每组至少 1 人，共有以下两种互斥的情况：

• 情况一：按 $3,1,1$ 规模分组 先从 5 人中选 3 人组成一组，其余 2 人各成一组。由于有两个组人数均为 1，需要除以 $2!$ 消除重复： $\text{分组数}=\frac{{\mathrm{C}}_5^3\cdot {\mathrm{C}}_2^1\cdot {\mathrm{C}}_1^1}{2!}=\frac{10\times 2\times 1}{2}=10\text{ 种}$ 再将这 3 个组分到 3 个不同的场馆，共有 $3!=6$ 种分法。 此类方案数为：$10\times 3!=60$ 种。

• 情况二：按 $2,2,1$ 规模分组 先从 5 人中选 2 人组成一组，再从其余 3 人中选 2 人组成一组，最后 1 人成一组。由于有两个组人数均为 2，同样需要除以 $2!$ 消除重复： $\text{分组数}=\frac{{\mathrm{C}}_5^2\cdot {\mathrm{C}}_3^2\cdot {\mathrm{C}}_1^1}{2!}=\frac{10\times 3\times 1}{2}=15\text{ 种}$ 再将这 3 个组分到 3 个不同的场馆，共有 $3!=6$ 种分法。 此类方案数为：$15\times 3!=90$ 种。

综合两类互斥方案，总方案种数为： $60+90=150\text{ 种}$

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：先分组、后分配模型。非均匀分组中的平均分组去重复规律。
2. 核心方法：分类穷举分拆法；亦可使用特值元素容斥原理（总数 $3^5$ 减去有空馆的方案数）。
3. 避坑指南：本题最容易在分组时忘记除以相同组数阶乘（如分出 $1,1$ 或 $2,2$ 时没有除以 $2!$），从而导致算出来的结果翻倍或偏大，误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题契合 2008 年北京奥运会背景，是排列组合章节中“把 $n$ 个不同元素放入 $m$ 个不同盒子且无空盒”的经典第二类斯特林数 $S(n,m)$ 应用题的变式。
2. 结论推广: 将 $n$ 个不同元素分配到 $m$ 个不同盒子中且无空盒的方案数公式为 $m!\cdot S(n,m)$。本题即为 $3!\cdot S(5,3)=6\times 25=150$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合