2008-湖北卷理-13 填-集合

本题导读

本题考查复合函数的解析式确定以及一元二次方程根的判定。先通过对比系数求出常数 $a,b$，再转化为具体方程求解集。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^2+2x+a$，$f(bx)=9x^2-6x+2$，其中 $x\in \mathbf{R}$，$a,b$ 为常数，则方程 $f(ax+b)=0$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 依题意写出 $f(bx)$ 的表达式：$f(bx)=(bx{)}^2+2(bx)+a$。
2. 对比其与 $9x^2-6x+2$ 的各项对应系数，求出常数 $a$ 和 $b$ 的值。
3. 将 $a,b$ 代入所求方程 $f(ax+b)=0$ 中，计算该一元二次方程的判别式 $\Delta$，确定其实数根的存在性并写出解集。

✅【答案】

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$\varnothing$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=x^2+2x+a$， 所以 $f(bx)=(bx{)}^2+2(bx)+a=b^2{x}^2+2bx+a$。

又已知 $f(bx)=9x^2-6x+2$， 根据多项式对应系数相等原则，可列方程组： $\{\begin{array}{l}{b}^2=9\\ 2b=-6\\ a=2\end{array}$ 由 $2b=-6$ 得 $b=-3$，代入 $b^2=9$ 审验成立。 故可得：$a=2,b=-3$。

此时，复合项 $ax+b=2x-3$。 方程 $f(ax+b)=0$ 即为 $f(2x-3)=0$。 代入原函数表达式得： $(2x-3{)}^2+2(2x-3)+2=0$ 展开化简： $4x^2-12x+9+4x-6+2=0⟹4x^2-8x+5=0$

计算该一元二次方程的根的判别式： $\Delta =(-8{)}^2-4\times 4\times 5=64-80=-16<0$ 因为 $\Delta <0$，该方程在实数范围内无实数根。 所以，该方程的解集为空集 $\varnothing$。

正确答案为：$\varnothing$（或 $\varnothing$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求二次函数参数；一元二次方程判别式小于 0 时解集为空集。
2. 核心方法：多项式系数对齐法。
3. 避坑指南：解 $b^2=9$ 时容易遗漏负根，必须结合 $2b=-6$ 确定 $b=-3$；最终写解集形式时，必须用集合符号表达，且空集符号 $\varnothing$ 外面不能加花括号（即写成 $\{\varnothing \}$ 是错误的）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是针对函数解析式变换与一元二次方程根的判别式相结合的经典综合填空题。
2. 结论推广: 对于任何函数 $f(x)=x^2+2x+a$，若其判别式本身小于 0，则对于任意一元线性复合函数 $g(x)=kx+m$（$k\ne 0$），方程 $f(g(x))=0$ 在实数范围内均无解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-上海卷理-02 填-集合
• 2009-上海卷理-16 单-集合