2008-湖北卷理-17 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量分布列的建立，以及期望与方差的定义与计算，重点考查随机变量线性变换后数字特征的变化规律。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 $n$ 号的有 $n$ 个 ($n=1,2,3,4$). 现从袋中任取一球.$\xi$ 表示所取球的标号.

(1)求 $\xi$ 的分布列，期望和方差；

(2)若 $\eta =a\xi +b$, $E\eta =1$, $D\eta =11$, 试求 $a,b$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确认各标号球的个数及总数，利用古典概型求出 $\xi$ 取各个值的概率，列出分布列。
2. 依据定义式计算期望 $E\xi$ 与方差 $D\xi$。
3. 利用性质 $E(a\xi +b)=aE\xi +b$ 和 $D(a\xi +b)=a^{2}D\xi$ 建立方程组，联立求出 $a$ 和 $b$ 的值。

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$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意可知，袋中球的总数为 $10+1+2+3+4=20$ 个。 随机变量 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。 对应的概率分别为： $P(\xi =0)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2},P(\xi =1)=\frac{1}{20},P(\xi =2)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ $P(\xi =3)=\frac{3}{20},P(\xi =4)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$

故 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$

$\xi$ 的数学期望为： $E\xi =0\times \frac{10}{20}+1\times \frac{1}{20}+2\times \frac{2}{20}+3\times \frac{3}{20}+4\times \frac{4}{20}=\frac{1+4+9+16}{20}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$

根据方差计算公式 $D\xi =E({\xi }^2)-(E\xi {)}^2$，先求 $E({\xi }^2)$： $E({\xi }^2)=0^2\times \frac{10}{20}+1^2\times \frac{1}{20}+2^2\times \frac{2}{20}+3^2\times \frac{3}{20}+4^2\times \frac{4}{20}=\frac{1+8+27+64}{20}=\frac{100}{20}=5$ 故 $\xi$ 的方差为： $D\xi =5-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=5-\frac{9}{4}=\frac{11}{4}$

(2)解： 由 随机变量线性变换的数字特征性质 可得： $\{\begin{array}{l}E\eta =aE\xi +b\\ D\eta =a^{2}D\xi \end{array}$ 将已知条件代入得： $\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}a+b=1\\ \frac{11}{4}{a}^2=11\end{array}$ 由第二式得 $a^2=4⟹a=\pm 2$。

• 当 $a=2$ 时，代入第一式得 $\frac{3}{2}\times 2+b=1⟹b=-2$；
• 当 $a=-2$ 时，代入第一式得 $\frac{3}{2}\times (-2)+b=1⟹b=4$。

综上所述，$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=4\end{array}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量的分布列质性（各概率非负且和为1）；期望与方差公式；线性组合的性质公式。
2. 核心方法：利用 $D(a\xi +b)=a^{2}D\xi$ 将复杂的方差公式化简，建立一元二次方程快速破题。
3. 避坑指南：由 $a^2=4$ 求解 $a$ 时，极易漏掉负根 $a=-2$。因为方差中的系数是 $a^2$，故 $a$ 可正可负，需全面讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查概率统计板块最核心的基础运算，源于教材中关于随机变量数字特征的典型例题。
2. 结论推广: 若随机变量 $\xi$ 服从某种分布且方差为 $D\xi$，对新变量 $\eta =a\xi +b$ 进行标定，其标准差满足 $\sigma (\eta )=|a|\sigma (\xi )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-17 单-方差
• 2009-广东卷文-18 解-茎叶图与方差
• 2009-江苏卷-06 填-方差比较