2011-湖南卷文-16 填-新定义函数计数

本题导读

本题考查函数的新定义，以及映射的概念。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 给定 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，设函数 $f:{\mathbf{N}}^{\ast }\to {\mathbf{N}}^{\ast }$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n$，$f(n)=n-k$.

(1) 设 $k=1$，则其中一个函数 $f$ 在 $n=1$ 处的函数值为$\underline{}$；

(2) 设 $k=4$，且当 $n⩽4$ 时，$2⩽f(n)⩽3$，则不同的函数 $f$ 的个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 小于等于 $k$ 处无约束
2. 步骤2：函数值任取正整数
3. 步骤3：(2) 前四项各自独立二选一
4. 步骤4：$2^4=16$

✅【答案】

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(1) $a\in {\mathbf{N}}^{\ast }$（不唯一，任意正整数均可）

(2) $16$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $k=1$ 时，约束只对 $n>1$ 生效（此时 $f(n)=n-1$），而 $n=1$ 处没有任何限制，$f(1)$ 可以取任意正整数，故答案为 $a\in {\mathbf{N}}^{\ast }$（不唯一）。

(2) $k=4$ 时，$n>4$ 的部分被固定为 $f(n)=n-4$；可自由取值的是 $f(1),f(2),f(3),f(4)$。条件 $2⩽f(n)⩽3$ 且 $f(n)\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，故每个 $f(n)$ 恰有 $2$ 个选择（$2$ 或 $3$），且四处的取值互相独立。

由分步乘法计数原理，不同的函数 $f$ 共有 $2\times 2\times 2\times 2=2^4=16$ 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义函数的条件范围；映射在无约束点处的自由性；分步乘法计数

核心方法：把”$n>k$ 才有公式”翻译成”前 $k$ 个点自由”，数清每个自由点的取值个数再相乘

避坑指南：(1) 是开放答案：$n=1$ 不满足"$n>k$"，公式管不到它，函数值不唯一——误套 $f(1)=1-1=0$（还不在 ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 中）是惯性错误；(2) 四个点各自独立，是”分步”而不是”分类”，用乘法 $2^4=16$，误用加法得 $8$ 或把 $n>4$ 的固定部分也算进选择就错了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义函数题与 2011-福建卷文-12、2012-湖南卷文-16、2011-湖北卷文-10 同族。

结论推广：推广：$f(n)=n-k$（$n>k$）型的函数中，前 $k$ 个自变量各有 $m$ 种取值时函数总数为 $m^k$；这类”分段自由 + 尾部固定”的计数是乘法原理的直接应用。

方法推广：新定义计数题：先圈出约束失效的自变量范围（自由区），再数每点的取值数，独立则相乘。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-12 单-整数分类新定义
• 2012-湖南卷文-16 填-二进制新定义数列
• 2011-湖北卷文-10 单-互补新定义充要