2008-湖南卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的基本代数运算，核心在于熟练应用虚数单位 $i$ 的倒数性质及高阶幂的周期性进行化简。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 复数 ${\left(i-\frac{1}{i}\right)}^3$ 等于 ()

A. 8　　　　　　　B. -8　　　　　　　C. 8i　　　　　　　D. -8i

🔍【思路分析】

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1. 先利用分式有理化性质化简括号内部的 $\frac{1}{i}$，将其转化为 $-i$。
2. 将化简后的结果合并，再进行三次方幂运算，结合 $i^3=-i$ 得到最终结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$， 所以括号内部的代数式可以化简为： $i-\frac{1}{i}=i-(-i)=2i$

进而计算其三次方： ${\left(i-\frac{1}{i}\right)}^3=(2i{)}^3=2^3\cdot i^3=8\cdot (-i)=-8i$

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位的特殊倒数关系 $\frac{1}{i}=-i$；纯虚数的幂运算规则。
2. 核心方法：先整体内化简、后高阶建幂的代数化简法。
3. 避坑指南：极易在计算 $i-\frac{1}{i}$ 时产生符号混乱，错误算成 $i-i=0$；或在计算 $i^3$ 时混淆正负号（注意 $i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中关于复数四则运算的基本训练题，是考查复数概念的最基础题型。
2. 结论推广: 对于任意正整数 $n$，代数式 ${\left(i-\frac{1}{i}\right)}^n=(2i{)}^n=2^n\cdot i^n$，其结果随 $n$ 的模 4 余数呈现周期性分布。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数