2008-湖南卷理-03 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划中目标函数最值的求解。通过在直角坐标系中绘制不等式组构成的封闭可行域，利用图解平移直线或顶点代入法求出目标函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 已知变量 $x,y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x-y\le 0\\ x+2y-9\le 0\end{array}$，则 $x+y$ 的最大值是 ()

A. 2　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 依约束条件画出可行域，确定其边界交点的坐标。
2. 分析目标函数 $z=x+y$ 的几何意义，其代表斜率为 $-1$ 的直线族在 $y$ 轴上的截距。
3. 通过平移直线法确定最优解在凸多边形可行域的哪一个顶点取得，代入计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件 $\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ y\ge x\\ x+2y\le 9\end{array}$ 绘制出平面可行域，该区域为一个闭合的三角形区域。

联立三条边界直线方程求出可行域的三个顶点坐标：

1. 联立 $x=1$ 与 $y=x⟹$ 顶点 $M(1,1)$；
2. 联立 $x=1$ 与 $x+2y=9⟹$ 顶点 $N(1,4)$；
3. 联立 $y=x$ 与 $x+2y=9⟹3x=9⟹$ 顶点 $Q(3,3)$。

目标函数为 $z=x+y$。将可行域的三个顶点坐标分别代入目标函数进行大小比对：

• 代入 $M(1,1)$ 得：$z=1+1=2$；
• 代入 $N(1,4)$ 得：$z=1+4=5$；
• 代入 $Q(3,3)$ 得：$z=3+3=6$。

对比可知，目标函数 $z=x+y$ 的最大值为 6。

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组的可行域锁定；线性目标函数的顶点最值定理。
2. 核心方法：顶点代入法（对于线性规划中目标函数和约束条件均为线性的闭合区域，最值必在多边形顶点处取得）。
3. 避坑指南：画图时注意直线 $x-y=0$ 对应不等式区域的判定，可通过代入测试点（如 $(1,0)$）验证其朝向；联立解交点坐标时需注意运算准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的双变量平面线性规划问题，考查基础的图象化代数求解能力，属于大纲内的标准核心必考小题。
2. 结论推广: 针对第一象限内由多条直线围成的封闭凸多边形，线性目标函数 $z=Ax+By$ ($A>0,B>0$) 的最大值必定在其远离原点的某个外边界交点顶点处产生。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-上海卷理-03 填-不等式
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划