2008-湖南卷理-06 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角函数的化简与最值求解。通过三角降幂与倍角公式将函数统一为标准的单弦型函数，再结合自变量区间确定最大值。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 函数 $f(x)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值是 ()

A. 1　　　　　　B. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　D. $1+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 使用二倍角降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 与正弦二倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 展开函数式。
2. 利用辅助角公式将解析式化简为 $A\sin (2x+\phi )+B$ 的形式。
3. 根据 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 缩放出整体相位角的取值范围，利用正弦函数的单调性寻找最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对函数进行恒等变换： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}\sin 2x$ $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x$ 利用辅助角公式化简得： $f(x)=\frac{1}{2}+\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

因为 $x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $2x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$， 进而得整体相位范围： $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6},\pi -\frac{\pi }{6}\right]⟹2x-\frac{\pi }{6}\in \left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$

结合正弦函数图象，当整体相位 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$ 时（此点处于区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right]$ 内）， $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$。

此时，函数的最大值为： $f(x{)}_{\max }=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式的灵活应用；正弦型函数在闭区间上的最值判定。
2. 核心方法：整体相位缩放法。通过一步步放大自变量范围来卡住三角函数的有效弧段。
3. 避坑指南：化简过程中极易在 ${\sin }^{2}x$ 降幂时看错符号，误记为 $\frac{1+\cos 2x}{2}$；区间缩放时，切记将端点值正确乘以系数 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是三角变换与性质考查的经典大纲必考题，源于教材关于“两角和与差的三角公式综合应用”的后置例题。
2. 结论推广: 函数 $f(x)=a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x$ 均可通过降幂转化为形如 $A\sin (2x+\phi )+B$ 的周期函数，其振幅为 $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数