2008-湖南卷理-09 单-圆

本题导读

本题考查立体几何中长方体外接球模型的典型应用。通过长方体棱长算出外接球的半径，再将空间两点间的球面距离转化为大圆圆心角对应的弧长进行求解。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的 8 个顶点在同一球面上，且 $AB=2,AD=\sqrt{3},A{A}_1=1$，则顶点 $A,B$ 间的球面距离是 ()

A. $2\sqrt{2}\pi$　　　　　　　B. $\sqrt{2}\pi$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据长方体外接球的性质，长方体的体对角线长即为外接球的直径 $2R$。利用三维勾股定理算出球半径 $R$。
2. 找出球心 $O$ 与顶点 $A,B$ 构成的空间三角形 $\Delta OAB$，利用已知边长 $OA,OB,AB$ 判定出大圆圆心角 $\angle AOB$ 的大小。
3. 依据球面距离公式 $s=R\cdot \theta$ 计算得出答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为长方体的 8 个顶点在同一球面上， 所以长方体的体对角线长等于球的直径 $2R$。 由勾股定理可得： $(2R{)}^2=A{B}^2+A{D}^2+A{A}_1^2=2^2+(\sqrt{3}{)}^2+1^2=4+3+1=8$ 解得外接球半径 $R=\sqrt{2}$。

设外接球的球心为 $O$，连接 $OA,OB$。 则 $OA=OB=R=\sqrt{2}$。 在 $\Delta OAB$ 中，已知三边长度分别为 $OA=\sqrt{2},OB=\sqrt{2},AB=2$。 显然满足： $O{A}^2+O{B}^2=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=2+2=4=A{B}^2$ 根据勾股定理的逆定理可知，$\Delta OAB$ 是以 $\angle AOB$ 为直角的直角三角形，即圆心角 $\theta =\angle AOB=\frac{\pi }{2}$。

根据球面距离的定义，顶点 $A,B$ 间的球面距离即为大圆劣弧 $AB$ 的长度： $s=R\cdot \theta =\sqrt{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体外接球直径公式 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$；球面距离指的是经过两点的大圆劣弧长。
2. 核心方法：模型转化法。把空间几何体外接球问题拆解为平面三角形内的圆心角计算。
3. 避坑指南：极易把“球面距离”误记或误算成空间直线距离（直接选了 $AB=2$）；在求圆心角时，必须代入勾股定理或余弦定理严格审验，切不可主观盲猜度数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是多面体与球体切接问题中最基础也是最核心的“长方体外接球”题型，重点考查空间想象力与基本弧度公式。
2. 结论推广: 若长方体三棱长分别为 $a,b,c$，则其任意相邻两个顶点之间的球面距离公式可统一表示为：$\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\cdot \arccos \left(1-\frac{2a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-11 单-球与棱锥的组合
• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件