2008-湖南卷理-10 单-函数

本题导读

本题是一道定义创新的新颖压轴选择题。核心意图是利用取整函数 $[x]$ 将定义域切分成不同的子区间，进而将新定义的组合数推广函数 $C_n^x$ 转化为具体的初等分段函数进行值域求解。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 (如 $[2]=2,[\frac{5}{4}]=1$).对于给定的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，定义 ${\mathrm{C}}_n^x=\frac{n(n-1)\dots (n-[x]+1)}{x(x-1)\dots (x-[x]+1)}$，$x\in [1,+\infty )$.则当 $x\in \left[\frac{3}{2},3\right)$ 时，函数 ${\mathrm{C}}_8^x$ 的值域是 ()

A. $\left[\frac{16}{3},28\right]$　　　　　　　　　　　　　　B. $\left[\frac{16}{3},56\right)$

C. $\left(4,\frac{28}{3}\right)\cup [28,56)$　　　　　　　　　　D. $\left(4,\frac{16}{3}\right]\cup \left(\frac{28}{3},28\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据 $x\in \left[\frac{3}{2},3\right)$ 将自变量区间按照最大整数 $[x]$ 的不同取值拆分为两个子区间：$\left[\frac{3}{2},2\right)$ 和 $[2,3)$。
2. 分别在各段写出 ${\mathrm{C}}_8^x$ 的具体初等代数式，结合单调性分别求出两个区间的对应值域再取并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\in \left[\frac{3}{2},3\right)$ 时，根据 $[x]$ 的取值进行分类讨论：

• 情况①：当 $x\in \left[\frac{3}{2},2\right)$ 时 此时 $[x]=1$。代入新定义公式得： ${\mathrm{C}}_8^x=\frac{8}{x}$ 因为 $x\in \left[\frac{3}{2},2\right)$，根据反比例函数在正半轴的单调递减性可得： $\frac{8}{2}<{\mathrm{C}}_8^x\le \frac{8}{\frac{3}{2}}⟹{\mathrm{C}}_8^x\in \left(4,\frac{16}{3}\right]$

• 情况②：当 $x\in [2,3)$ 时 此时 $[x]=2$。代入新定义公式得： ${\mathrm{C}}_8^x=\frac{8\times (8-2+1)}{x(x-2+1)}=\frac{8\times 7}{x(x-1)}=\frac{56}{x(x-1)}$ 当 $x\in [2,3)$ 时，分母二次函数 $g(x)=x(x-1)$ 的对称轴为 $x=\frac{1}{2}$，在该区间内单调递增。 故 $g(x)\in [2\times 1,3\times 2)=[2,6)$。 由于 ${\mathrm{C}}_8^x=\frac{56}{g(x)}$，对应的倒数范围为： $\frac{56}{6}<{\mathrm{C}}_8^x\le \frac{56}{2}⟹{\mathrm{C}}_8^x\in \left(\frac{28}{3},28\right]$

综合上述两段的值域，取并集得函数 ${\mathrm{C}}_8^x$ 的值域为 $\left(4,\frac{16}{3}\right]\cup \left(\frac{28}{3},28\right]$。

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义运算模型的降阶翻译；取整函数的分段切分处理。
2. 核心方法：分段讨论单调性法。
3. 避坑指南：计算第二段时，分子公式 $n-[x]+1$ 和分母 $x-[x]+1$ 的项数极易数错，必须严格按照乘积项的末项规律写出具体式子（即 $[x]=2$ 时只有两项相乘）。此外，必须注意开闭区间的端点对应关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等数学背景，属于**伽马函数 ($\Gamma (x)$) 与广义组合数（二项式系数拓展）**的离散化简化构型。
2. 结论推广: 广义二项式系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)$ 在实数域上的分段形式由高斯函数控制，在每两个相邻整数区间 $(k,k+1)$ 内均可退化为有理分式进行极值和值域的精确刻画。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项