2008-湖南卷理-13 填-函数

本题导读

本题考查原函数与反函数点坐标的对称性及其变换。核心在于通过已知点坐标求出原函数的特定函数值，再利用反函数定义完成转化。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 设函数 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$，且函数 $y=x-f(x)$ 的图象过点 $(1,2)$.则函数 $y=f^{-1}(x)-x$ 的图象一定过点 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将点 $(1,2)$ 代入函数 $y=x-f(x)$ 中，求出 $f(1)$ 的值。
2. 利用互为反函数的充要条件 $f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$ 得到反函数的已知点。
3. 将该自变量代入目标函数 $y=f^{-1}(x)-x$ 中计算对应的纵坐标。

✅【答案】

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$(-1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $y=x-f(x)$ 的图象过点 $(1,2)$， 将 $x=1,y=2$ 代入得： $2=1-f(1)⟹f(1)=-1$

由于 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$， 由 $f(1)=-1$ 可得： $f^{-1}(-1)=1$

要求函数 $y=f^{-1}(x)-x$ 一定通过的定点，尝试代入 $x=-1$ 得： $y=f^{-1}(-1)-(-1)=1+1=2$

因此，当 $x=-1$ 时，$y=2$，即函数图象一定过点 $(-1,2)$。

正确答案为：$(-1,2)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数的映射互逆性，即图象关于直线 $y=x$ 对称的代数特征。
2. 核心方法：数值代入法。
3. 避坑指南：计算 $f(1)=-1$ 时极易出现符号看错的低级失误；最终写定点坐标时，必须以横纵坐标对 $(x,y)$ 的形式完整书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是反函数章节最基础的映射对应题型的衍生，通过构造复合函数增加了考查灵活性。
2. 结论推广: 若函数 $y=x-f(x)$ 的图象过点 $(m,n)$，则其反函数复合形式 $y=f^{-1}(x)-x$ 的图象必过点 $(m-n,m)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项