2008-福建卷文-10 单-线性规划斜率

本题导读

$\frac{y}{x}$ 是可行域内点与原点连线的斜率；可行域由 $x>0$、$y⩽2$、$y⩾x+1$ 围成，斜率在两个极端边界处取得最值.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 若实数 $x$、$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y+1⩽0,\\ x>0,\\ y⩽2,\end{array}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是()

A. $(0,2)$　　　　　B. $(0,2]$　　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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可行域：$0<x⩽1$，$x+1⩽y⩽2$；$\frac{y}{x}⩾\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}⩾2$，且随 $x\to 0^{+}$ 无上界，故 $[2,+\infty )$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

约束条件即 $x>0$，$y⩽2$，$y⩾x+1$. 由 $y⩽2$ 与 $y⩾x+1$ 得 $x⩽1$，故可行域为 $0<x⩽1$，$x+1⩽y⩽2$ 的区域（不含左边界 $x=0$）. $\frac{y}{x}$ 表示区域内点 $(x,y)$ 与原点连线的斜率，区域内 $y>0$，斜率为正. 对固定 $x$，$\frac{y}{x}$ 在 $y=x+1$ 处取最小：$\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}⩾1+1=2$（$x=1$ 时取等）； 当 $x\to 0^{+}$ 时 $y⩾x+1\to 1$，$\frac{y}{x}\to +\infty$，无上界. 故 $\frac{y}{x}\in [2,+\infty )$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划与斜率型目标

核心方法：先画可行域定顶点，$\frac{y}{x}$ 看作原点连线的斜率

避坑指南：$x>0$ 是开边界，端点 $x=0$ 取不到，只能以极限方式贡献 $$\begin{gathered} + \\ infty \end{gathered}$$；最值在边界 $y=x+1$ 与 $y=2$ 的交点附近取得，别在整点里找

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：斜率型线性规划（2010 辽宁文 15 填空版）

结论推广：$\frac{y}{x}$、$\frac{y+1}{x+2}$ 等分式目标都对应”过定点的斜率”

方法推广：先画准可行域（注意开闭边界），再把目标几何化，数形结合避免解不等式组

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-09 单-线性规划区域面积
• 2010-福建卷文-05 单-线性规划最小值
• 2010-浙江卷文-07 单-线性规划最值
• 2010-重庆卷文-07 单-线性规划最值