2010-重庆卷文-07 单-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。约束即 $x⩾0$、$y⩽x$、$y⩾2x-2$；对固定 $x$，$z=3x-2y$ 随 $y$ 减小而增大，取 $y=2x-2$ 得 $z=4-x⩽4$（$x⩾0$），在 $(0,-2)$ 取等，最大值 4，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ x-y⩾0,\\ 2x-y-2⩽0,\end{array}$ 则 $z=3x-2y$ 的最大值为()

A. $0$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三个约束化为：$x⩾0$、$y⩽x$、$y⩾2x-2$。
2. 由 $2x-2⩽x$ 得 $x⩽2$，即可行域中 $0⩽x⩽2$。
3. $z=3x-2y$ 关于 $y$ 递减，对固定 $x$ 取 $y$ 的最小值 $y=2x-2$，得 $z=4-x$，在 $x=0$ 取最大。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

约束条件等价于 $x⩾0$，$y⩽x$，$y⩾2x-2$. 由 $2x-2⩽x$（$y$ 同时满足两条边界）得 $0⩽x⩽2$. 对固定的 $x$，$z=3x-2y$ 随 $y$ 减小而增大，故取 $y=2x-2$（下边界）， $z=3x-2(2x-2)=4-x⩽4(x⩾0).$ 当 $(x,y)=(0,-2)$ 时等号成立（满足全部约束），所以最大值为 $4$. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求目标函数最值

核心方法：约束化为 $x⩾0,y⩽x,y⩾2x-2$；$z=3x-2y$ 随 $y$ 减小而增大，取 $y=2x-2$ 得 $z=4-x⩽4$

避坑指南：$z$ 中 $y$ 的系数是 $-2$，$y$ 越小 $z$ 越大，故取可行域的下边界；$(0,-2)$ 是下边界与 $x=0$ 的交点；代回检验三个约束都满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值在顶点处取得，也可用”固定 $x$ 看 $z$ 随 $y$ 的单调性”分析。

结论推广：$z=3x-2y$ 关于 $y$ 递减（系数为负）；可行域由半平面交集确定。

方法推广：先化简各约束、画可行域；确定目标函数关于各变量的增减方向，再锁定边界与顶点代入比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2009-新课标卷文-06 单-线性规划开区域
• 2011-安徽卷文-06 单-线性规划最值
• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值