2010-福建卷文-05 单-线性规划最小值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(1,1)$、$(1,2)$、$(3,3)$，$z_{\min }=z(1,1)=3$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 若 $x$，$y\in \mathbf{R}$，且 $\{\begin{array}{l}x⩾1,\\ x-2y+3⩾0,\\ y⩾x,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最小值等于()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 三条边界：$x=1$，$x-2y+3=0$，$y=x$。
2. 顶点：$(1,1)$（$x=1$ 与 $y=x$），$(1,2)$（$x=1$ 与 $x-2y+3=0$），$(3,3)$（$y=x$ 与 $x-2y+3=0$）。
3. $z(1,1)=3$，$z(1,2)=5$，$z(3,3)=9$。
4. 最小值 $3$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

可行域由 $x⩾1$，$x-2y+3⩾0$，$y⩾x$ 围成，三条边界两两相交，顶点为 $(1,1),(1,2),(3,3).$ 线性目标函数在顶点处取得最值： $z(1,1)=3,z(1,2)=5,z(3,3)=9,$ 故 $z=x+2y$ 的最小值为 $3$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最小值

核心方法：画可行域、联立边界求顶点、逐点代入目标函数

避坑指南：可行域由 $x⩾1$、$y⩾x$、$x-2y+3⩾0$ 围成三角形，顶点 $(1,1)$ 在 $y=x$ 上别漏检；最小值在 $(1,1)$ 处取得 $z=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性目标函数在封闭可行域顶点处取得最值。

结论推广：$z=x+2y$ 的等值线斜率 $-\frac{1}{2}$，介于两边界斜率 $1$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间，最值必在顶点。

方法推广：三条边界两两求交得三顶点，全部代入比较，不凭图形直觉。

🔗【关联脉络】

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