2008-福建卷理-06 单-线面位置

本题导读

本题利用底面为正方形的长方体模型考查线面角的正弦值，解题关键在于通过垂面确定线段在平面上的射影。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=BC=2,A{A}_1=1$，则 $B{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 所成角的正弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{6}}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{15}}{5}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{10}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用底面是正方形的性质，寻找 $C_1$ 在平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 上的射影，从而确定线面角。
2. 在对应的直角三角形中求出对应线段长度，计算正弦值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

连结 $A_1{C}_1$ 交 $B_1{D}_1$ 于点 $O_1$，连结 $B{O}_1$。 在长方体中，底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为 2 的正方形，则 $A_1{C}_1\perp B_1{D}_1$ 且 $C_1{O}_1=\frac{1}{2}{A}_1{C}_1=\sqrt{2}$。 由于 $B{B}_1\perp \text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$，则 $B{B}_1\perp C_1{O}_1$。 又 $B_1{D}_1\cap B{B}_1=B_1$，故 $C_1{O}_1\perp \text{平面 }B{B}_1{D}_{1}D$。 因此，$\angle C_{1}B{O}_1$ 即为 $B{C}_1$ 与平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 所成的角。 在 Rt$△B{C}_{1}C$ 中，$B{C}_1=\sqrt{B{C}^2+C{C}_1^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。 在 Rt$△C_1{O}_{1}B$ 中，$\sin \angle C_{1}B{O}_1=\frac{C_1{O}_1}{B{C}_1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中线面角的定义、证明与计算。
2. 核心方法：垂面法（寻找射影构建直角三角形）。
3. 避坑指南：寻找线面角时需严格证明垂线（如 $C_1{O}_1\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$），不可仅凭直觉判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 源于立体几何中求线面角的标准模型，通过对角线互相垂直性质简化投影。
5. 结论推广: 若长方体底面为正方形，则顶面对角线交点与顶点的连线必垂直于对应的对角面。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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