2008-福建卷理-07 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合的实际应用，对于含有“至少”等限制条件的计数问题，采用间接法能大幅简化运算。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 ()

A. 14　　　　　　　B. 24　　　　　　　C. 28　　　　　　　D. 48

🔍【思路分析】

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1. 采用间接法：计算出从 6 人中随机选 4 人的总方案数。
2. 减去不合题意（即选出的 4 人全部为男生）的方案数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

从 4 名男生和 2 名女生（共 6 人）中选派 4 人的总方法种数为： $C_6^4=C_6^2=\frac{6\times 5}{2}=15$ 若选派的 4 人全为男生，方法种数为： $C_4^4=1$ 因此，至少有 1 名女生的选派方案种数为 $15-1=14$ 种。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含有至多、至少等限制条件的经典组合应用题。
2. 核心方法：间接法（正难则反）。
3. 避坑指南：若采用直接分类法（1女3男、2女2男），需注意每一类之间要用加法原理，类内用乘法原理，避免漏算或重复。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 排列组合传统题型，属于“含有特殊元素或位置”的选派模型。
5. 结论推广: 从包含 $m$ 个 $A$ 类元素和 $n$ 个 $B$ 类元素中选取 $k$ 个元素，要求至少含有一个 $B$ 类元素的选法数为 $C_{m+n}^k-C_m^k$（当 $k\le m$ 时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合