2008-福建卷理-08 单-线性规划

本题导读

本题结合简单线性规划考查非线性目标函数的取值范围，重点是将代数式转化为可行域内动点与定点连线的斜率模型。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 若实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-y+1\le 0\\ x>0\end{array}$，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是 ()

A. $(0,1)$　　　　　B. $(0,1]$　　　　　C. $(1,+\infty )$　　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的可行域。
2. 将 $\frac{y}{x}$ 理解为可行域内的动点 $(x,y)$ 与原点 $(0,0)$ 连线的斜率，观察并计算斜率的变化范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由不等式组 $\{\begin{array}{l}x-y+1\le 0\\ x>0\end{array}$ 可知，可行域为直线 $x-y+1=0$ 上方（含边界）且在 $y$ 轴右侧（不含边界）的开放区域。 目标函数 $k=\frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$ 表示可行域内的点 $P(x,y)$ 与原点 $O(0,0)$ 连线 $OP$ 的斜率。 当点 $P$ 沿边界直线 $y=x+1(x>0)$ 向右上方无限延伸时，$\frac{y}{x}=1+\frac{1}{x}\to 1$（但无法取到 1）； 当点 $P$ 沿边界直线 $y=x+1$ 向左下方逼近 $y$ 轴时（即 $x\to 0^{+}$），$y\to 1$，此时斜率 $k=\frac{y}{x}\to +\infty$。 对于可行域内直线 $y=x+1$ 上方的其余点，其斜率显然大于该边界上的对应斜率。 因此，$\frac{y}{x}$ 的取值范围是 $(1,+\infty )$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域的确定与代数式的几何意义转化。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：注意约束条件中 $x>0$ 决定了边界点 $(0,1)$ 是开点，不可取到等号，因此需在区间开口的选择上仔细甄别。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 线性规划与函数性质的交汇创新题，利用几何性质规避直接代数运算。
5. 结论推广: 形如 $\frac{y-b}{x-a}$ 的代数式取值范围，均可转化为可行域内动点与定点 $(a,b)$ 连线斜率的取值范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域
• 2009-北京卷理-10 填-线性规划
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值