2008-福建卷理-10 单-解三角形

本题导读

本题考查解三角形中的边角关系转化，利用余弦定理将边转化成角，再结合三角函数恒等变形求解三角形的内角。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A、B、C$ 的对边分别为 $a、b、c$.若 $(a^2+c^2-b^2)\tan B=\sqrt{3}ac$，则角 $B$ 的值为 ()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$ 或 $\frac{5\pi }{6}$　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由余弦定理可知 $a^2+c^2-b^2=2ac\cos B$，将其代入已知等式中。
2. 利用 $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}$ 化简等式，求出 $\sin B$ 的值，再根据内角范围确定角 $B$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理得：$a^2+c^2-b^2=2ac\cos B$。 代入原式得： $2ac\cos B\cdot \tan B=\sqrt{3}ac$ 因为 $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}$，且在三角形中 $a>0,c>0$，两边同除以 $ac$ 得： $2\sin B=\sqrt{3}⟹\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为 $B$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $0<B<\pi$。 解得 $B=\frac{\pi }{3}$ 或 $B=\frac{2\pi }{3}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的基本形式及变形；特殊角的三角函数值。
2. 核心方法：边转角法，通过余弦定理实现式子的统一。
3. 避坑指南：求出 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 后，极易因思维定势只考虑锐角 $\frac{\pi }{3}$ 而漏掉钝角 $\frac{2\pi }{3}$，导致错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是解三角形板快中经典的“边角混合算式”化简题，直接取材于教材中正余弦定理应用的例题变形。
5. 结论推广: 在解三角形中，看到 $a^2+c^2-b^2$ 结构应联想到 $2ac\cos B$，看到 $a^2+b^2-c^2$ 联想到 $2ab\cos C$，这是边角转换的固定思维锚点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数