2008-福建卷理-14 填-参数方程

本题导读

本题考查圆的参数方程与直角坐标方程的转化，以及利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 若直线 $3x+4y+m=0$ 与圆 $\{\begin{array}{l}x=1+\cos \theta \\ y=-2+\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数) 没有公共点，则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 消去参数 $\theta$，将圆的参数方程转化为直角坐标标准方程，找出圆心和半径。
2. 由“没有公共点”推知圆心到直线的距离大于半径，列出关于 $m$ 的绝对值不等式求解。

✅【答案】

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$m<0\text{ 或 }m>10$

✍【详细解析】

Abstract

由圆的参数方程 $\{\begin{array}{l}x-1=\cos \theta \\ y+2=\sin \theta \end{array}$，两式平方相加得： $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 此方程表示以 $C(1,-2)$ 为圆心，半径 $R=1$ 的圆。 因为直线 $3x+4y+m=0$ 与该圆没有公共点，所以圆心 $C$ 到直线的距离 $d>R$。 $d=\frac{|3\times 1+4\times (-2)+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|m-5|}{5}>1$ 解得 $|m-5|>5$，即 $m-5>5$ 或 $m-5<-5$。 解得 $m>10$ 或 $m<0$。 故实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty ,0)\cup (10,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的参数方程消参；直线与圆相离的代数判定条件 $d>R$。
2. 核心方法：几何法，避免了联立方程组用判别式 $\Delta <0$ 的繁琐代数计算。
3. 避坑指南：去掉绝对值号时注意方向，$|x|>a⟹x>a$ 或 $x<-a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 基于选修系列中“坐标系与参数方程”与必修中“直线与圆的位置关系”的典型交汇问题。
5. 结论推广: 直线 $Ax+By+C=0$ 与圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 相离的充要条件为 $\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}>R$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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