2009-安徽卷理-12 填-参数方程

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化标准直角坐标方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 以直角坐标系的原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{4}(\rho \in \mathbf{R})$，它与曲线 $\{\begin{array}{l}x=1+2\cos \alpha \\ y=2+2\sin \alpha \end{array}$ ($\alpha$ 为参数) 相交于两点 $A$ 和 $B$，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将直线的极坐标方程 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 转化为直角坐标方程 $y=x$。
2. 将曲线的参数方程消去参数 $\alpha$，化为标准圆的普通方程，确定圆心坐标与半径。
3. 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$，最后由勾股弦长公式 $|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}$ 求解。

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$\sqrt{14}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 直线的坐标转换： 直线的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{4}(\rho \in \mathbf{R})$，对应的直角坐标方程为 $y=x\cdot \tan \frac{\pi }{4}⟹y=x$，即普通方程为 $x-y=0$。

2. 曲线的坐标转换： 曲线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x-1=2\cos \alpha \\ y-2=2\sin \alpha \end{array}$。 两式分别平方后相加，利用 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ 消去参数 $\alpha$ 得： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 这表示一个以 $M(1,2)$ 为圆心，半径 $R=2$ 的圆。

3. 计算弦长 $|AB|$： 圆心 $M(1,2)$ 到直线 $x-y=0$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|1-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 在由半径 $R$、弦心距 $d$ 和半弦长 $\frac{|AB|}{2}$ 构成的直角三角形中，根据勾股定理： $|AB|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{2^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{14}$

填空答案：$\sqrt{14}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标互化式 $y=x\tan \theta$；参数方程消参法；圆的半弦长公式。
2. 核心方法：解析几何代数化归法。
3. 避坑指南：容易在线面距离的直角三角形中漏乘系数 2，错把半弦长 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ 当作最后答案输出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材选修板块中极坐标与参数方程的核心内容，常作为高考选做题或填空题的压轴位置出现。
2. 结论推广：直线 $y=x$ 截圆 $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=R^2$ 得到的弦长公式可通解为 $2\sqrt{R^2-\frac{(x_0-y_0{)}^2}{2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 2012-广东卷文-14 填-参数方程与极坐标
• 2012-新课标卷理-23 解-极坐标与参数方程