2008-福建卷理-16 填-集合

本题导读

本题是一道定义新概念的创新抽象题，考查高等数学中“数域（Field）”的初步概念。需要紧扣数域对四则运算的闭合性定义，利用逻辑推理与反例构造逐一甄别命题的真伪。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 设 $P$ 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 $a,b\in P$，都有 $a+b、a-b、ab、\frac{a}{b}\in P$ (除数 $b\ne 0$)，则称 $P$ 是一个数域.例如有理数集 $\mathbf{Q}$ 是数域；数集 $F=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in \mathbf{Q}\}$ 也是数域.有下列命题： ① 整数集是数域； ② 若有理数集 $\mathbf{Q}\subseteq M$，则数集 $M$ 必为数域； ③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 $\underline{}$.（把你认为正确的命题的序号填上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 审视定义：数域要求数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算具备封闭性。
2. 验证①：整数集对除法不封闭，可举反例判定。
3. 验证②：利用包含关系无法说明运算封闭性，可添加无理数构造不封闭的反例。
4. 验证③：从至少含两个数出发，利用减法及除法推出必含 0 和 1，再通过连加推理其元素的无限性。
5. 验证④：根据题干中 $F$ 的启发，改变根号下的无理数即可构造出无数个不同的数域。

✅【答案】

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$3、4$

✍【详细解析】

Abstract

解法如下：

• 对于①：设 $1,2\in \mathbf{Z}$（整数集），但 $\frac{1}{2}\notin \mathbf{Z}$，不满足除法的封闭性，故①错误；
• 对于②：设 $M=\mathbf{Q}\cup \{\pi \}$，显然 $\mathbf{Q}\subseteq M$。但 $1\in M,\pi \in M$，而 $1+\pi \notin M$（因为 $1+\pi$ 是无理数且不等于 $\pi$），不满足加法的封闭性，故②错误；
• 对于③：设 $P$ 是任一数域，至少含有两个数，设为 $a,b(b\ne 0)$。 由减法封闭性，$b-b=0\in P$；由除法封闭性，$\frac{b}{b}=1\in P$。 由于 $1\in P$，由加法封闭性可得 $1+1=2\in P,2+1=3\in P,\dots ,n\in P(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$。 再由减法封闭性，$-n\in P$。 再由除法封闭性，对任意整数 $m,n(n\ne 0)$，$\frac{m}{n}\in P$，即 $\mathbf{Q}\subseteq P$。 因为有理数集 $\mathbf{Q}$ 是无限集，所以数域 $P$ 必然是无限集，故③正确；
• 对于④：由题干已知 $F=\{a+b\sqrt{2}|a,b\in \mathbf{Q}\}$ 是数域，同理可构造出 $F_k=\{a+b\sqrt{k}|a,b\in \mathbf{Q}\}$（其中 $k$ 为互不相同的素数，如 $2,3,5,7\dots$）。这些数域彼此互不相同，由于素数有无穷多个，故存在无穷多个数域，故④正确。

综上所述，正确的命题序号是 ③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义性质的理解；四则运算的封闭性验证。
2. 核心方法：

• 否定命题用“反例法”（找一个不满足封闭性的具体特例）。
• 肯定命题用“演绎推理法”（从已知元素出发进行自顶向下的代数递推）。

3. 避坑指南：概念混淆。容易错将满足包含关系 $\mathbf{Q}\subseteq M$ 的集合直接当成对运算封闭，必须牢记数域的本质特征是“对四则运算封闭”。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题具有高等数学背景，直接取材于高等代数（抽象代数）中“域论（Field Theory）”的起始定义。
5. 结论推广: 任何数域都必须包含有理数集 $\mathbf{Q}$，因此有理数集 $\mathbf{Q}$ 是世界上最小的数域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参
• 2009-上海卷理-02 填-集合
• 2009-上海卷理-16 单-集合