2008-福建卷理-21 解-椭圆

本题导读

本题是一道经典的解析几何大题。第一问利用短轴三等分点与焦点的几何关系，结合等边三角形的性质求出基本量 $a,b$，确定椭圆方程；第二问将几何条件 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$ 转化为向量数量积 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<0$，通过设线联立椭圆方程，利用韦达定理构建关于参数 $a$ 的不等式恒成立模型求解。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个焦点是 $F(1,0)$，$O$ 为坐标原点.

(1) 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

(2) 设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A、B$ 两点. 若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，恒有 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由焦点 $F(1,0)$ 知 $c=1$。短轴两端点为 $(0,\pm b)$，其三等分点为 $\left(0,\pm \frac{b}{3}\right)$。这两点连线长为 $\frac{2}{3}b$，到 $F$ 点的距离（即正三角形的高）为 $1$，利用正三角形边长与高的关系求出 $b$，进而求得 $a$。
2. 第二问：利用余弦定理或向量性质，将 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$ 等价转化为 $\angle AOB$ 为钝角，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<0$。设直线 $l:x=my+1$，与椭圆方程联立，利用韦达定理展开 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<0$，转化为关于 $m$ 的不等式恒成立问题，从而分离或讨论求出 $a$ 的范围。

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$a$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 由题意，椭圆焦点为 $F(1,0)$，故 $c=1$。 椭圆短轴的两个端点为 $(0,-b)$ 和 $(0,b)$，其两个三等分点为 $M_1\left(0,\frac{b}{3}\right)$，$M_2\left(0,-\frac{b}{3}\right)$。 则 $|M_1{M}_2|=\frac{2}{3}b$。 因为 $△F{M}_1{M}_2$ 为正三角形，且 $F(1,0)$ 到 $y$ 轴的距离为 1， 所以该正三角形 $M_1{M}_2$ 边上的高为 1。 根据正三角形的性质有： $\frac{\sqrt{3}}{2}\times |M_1{M}_2|=1⟹\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{3}b=1⟹b=\sqrt{3}$ 综上，$b^2=3$。由于 $c=1$，则 $a^2=b^2+c^2=3+1=4$。 故椭圆的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

(2) 由题意知 $c=1$，则 $b^2=a^2-1$。 在 $△OAB$ 中，由余弦定理得 $|AB{|}^2=|OA{|}^2+|OB{|}^2-2|OA||OB|\cos \angle AOB$。 若恒有 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$，则 $\cos \angle AOB<0$，即 $\angle AOB$ 恒为钝角。 其等价于向量数量积满足 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<0$ 恒成立。

当直线 $l$ 的斜率不存在或为 0 时： ① 若 $l$ 为 $x$ 轴（即 $y=0$），此时 $A(-a,0),B(a,0)$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-a^2<0$ 显然成立。 ② 若 $l$ 垂直于 $x$ 轴（即 $x=1$），可求得 $A\left(1,\frac{b^2}{a}\right),B\left(1,-\frac{b^2}{a}\right)$， 此时 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=1-\frac{b^4}{a^2}<0⟹a^2<b^4=(a^2-1{)}^2⟹a^4-3a^2+1>0$。

为了统一表达所有非水平直线，设过 $F(1,0)$ 的直线 $l$ 方程为 $x=my+1(m\in \mathbf{R})$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。 联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}⟹b^2(my+1{)}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2=0$ 展开并整理得： $(a^2+b^2{m}^2)y^2+2b^{2}my+b^2(1-a^2)=0$ 由韦达定理得： $y_1+y_2=\frac{-2b^{2}m}{a^2+b^2{m}^2},y_1{y}_2=\frac{b^2(1-a^2)}{a^2+b^2{m}^2}$ 根据向量坐标运算： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=(m{y}_1+1)(m{y}_2+1)+y_1{y}_2=(m^2+1)y_1{y}_2+m(y_1+y_2)+1$ 将韦达定理代入上式： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(m^2+1)\frac{b^2(1-a^2)}{a^2+b^2{m}^2}+m\frac{-2b^{2}m}{a^2+b^2{m}^2}+1=\frac{(m^2+1)b^2(1-a^2)-2b^2{m}^2+a^2+b^2{m}^2}{a^2+b^2{m}^2}$ 简化分子项，并将 $b^2=a^2-1$ 代入分子中： $\text{分子}=m^2{b}^2(1-a^2)+b^2(1-a^2)-b^2{m}^2+a^2=-m^2{b}^2{a}^2+b^2-a^2{b}^2+a^2$ 要使 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<0$ 恒成立，由于分母 $a^2+b^2{m}^2>0$，故只需分子恒小于 0，即： $-a^2{b}^2{m}^2+b^2-a^2{b}^2+a^2<0(\text{对任意 }m\in \mathbf{R}\text{ 恒成立})$ 因为 $-a^2{b}^2{m}^2\le 0$，所以该二次式关于 $m$ 的最大值在 $m=0$ 处取得。 因此只需： $b^2-a^2{b}^2+a^2<0$ 将 $b^2=a^2-1$ 代入上式变形： $(a^2-1)-a^2(a^2-1)+a^2<0⟹-a^4+3a^2-1<0⟹a^4-3a^2+1>0$ 解关于 $a^2$ 的不等式，得 $a^2>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ 或 $a^2<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。 因为 $a>b>0$ 且 $c=1$，所以 $a^2>1$。 又因为 $\frac{3-\sqrt{5}}{2}<1$，故舍去较小区间，保留 $a^2>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。 由于 $\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}={\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)}^2$，且 $a>0$， 所以 $a>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：短轴三等分点几何坐标表达；直线与椭圆联立后的代数化简；向量数量积应用于夹角范围判定。
2. 核心方法：

• 用 $x=my+1$ 设直线方程，可以完美避免当直线垂直于 $x$ 轴时对斜率不存在的单独讨论。
• 恒成立问题转化法：对于形如 $-A{m}^2+B<0(A>0)$ 恒成立的问题，其本质是最大值 $B<0$。

3. 避坑指南：

• 第一问中容易误将短轴长 $2b$ 的两个三等分点错当成 $\pm \frac{2}{3}b$，导致方程求解错误。
• 第二问中由 $a^2>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ 开方求 $a$ 的范围时，需要通过分子分母同倍化配方成完全平方式进行准确开方，切勿直接保留复杂的双重根号形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解析几何经典的“定点弦张角”问题，通过向量数量积将解析几何与向量无缝交汇。
2. 结论推广: 若过椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点 $F(c,0)$ 的任意弦 $AB$ 对原点 $O$ 的张角恒为钝角（即 $\angle AOB>\frac{\pi }{2}$），则其离心率 $e=\frac{c}{a}$ 必满足特定的边界范围。本题中 $a>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（即黄金分割比）体现了数学的对称与和谐美。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦