2008-辽宁卷文-12 单-正方体三直线相交

本题导读

与 $A_1{D}_1$ 相交的直线必过 $A_1{D}_1$ 上一点 $P$，对每个 $P$ 都能作一条与 $EF$、$CD$ 都相交的直线，故有无数条.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$，$F$ 分别为棱 $A{A}_1$，$C{C}_1$ 的中点，则在空间中与三条直线 $A_1{D}_1$，$EF$，$CD$ 都相交的直线()

A. 不存在　　B. 有且只有两条　　C. 有且只有三条　　D. 有无数条

🔍【思路分析】

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先看要”与 $A_1{D}_1$ 相交”意味着直线过 $A_1{D}_1$ 上某点；再证对该直线上不同位置的点都能找到符合条件的直线，从而得到”无数条”的结论.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设 $l$ 是与三条给定直线都相交的直线．由于 $l$ 与 $A_1{D}_1$ 相交，记交点为 $P$，则 $P$ 在 $A_1{D}_1$ 上． 考虑棱 $AD$ 上的任意一点 $Q$：连接 $PQ$ 并延长，可使其与 $EF$ 相交（因 $EF$ 是 $A{A}_1$、$C{C}_1$ 中点连线，与含 $AD$ 的平面有公共点），同时 $PQ$ 所在直线与 $CD$ 相交于 $D$ 或其延长线方向． 由于点 $P$ 可取 $A_1{D}_1$ 上无穷多个位置，而每一位置都能确定一条符合条件的直线，故这样的直线有无数条．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间直线位置关系与存在性判断

核心方法：抓住”与 $A_1{D}_1$ 相交”意味着直线过其上一点，由该点的任意性得无数条

避坑指南：关键是看出交点 $P$ 可在 $A_1{D}_1$ 上连续变动；不要凭直觉选”有限条”，要论证”对每个 $P$ 都存在”从而无数条

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材空间直线位置关系，正方体中的存在性论证

结论推广：正方体对称性下”与给定三条直线都相交”的直线有无数条

方法推广：立体几何存在性、个数判断题要先找可连续变动的自由度；正方体、正多面体的对称性常是突破点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-04 单-空间点、线、面的位置关系
• 2009-辽宁卷文-19 解-面面垂直与反证异面