2009-辽宁卷文-19 解-面面垂直与反证异面

本题导读

考查空间位置关系。（1）取 $CD$ 中点 $G$，$MG\perp$ 平面 $DCEF$，$GN\parallel CF$，$MN=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；（2）反设共面推出 $N=F$，矛盾。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 如图，已知两个正方形 $ABCD$ 和 $DCEF$ 不在同一平面内，$M$，$N$ 分别为 $AB$，$DF$ 的中点.

(1)若 $CD=2$，平面 $ABCD\perp$ 平面 $DCEF$，求直线 $MN$ 的长；

(2)用反证法证明：直线 $ME$ 与 $BN$ 是两条异面直线.

🔍【思路分析】

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1. 取 $G$ 为 $CD$ 中点，连 $MG$，$NG$。$MG\perp CD$ 且 $MG=2$；面面垂直 $\Rightarrow MG\perp$ 平面 $DCEF$。
2. $△DCF$ 中位线：$GN\parallel CF$，$GN=\frac{1}{2}CF=1$，且 $MG\perp GN$。
3. $MN=\sqrt{M{G}^2+G{N}^2}=\sqrt{5}$。 4.（2）反设 $ME$ 与 $BN$ 共面于 $\pi$：$AB\subset \pi$，$AB\parallel$ 平面 $DCEF\Rightarrow AB\parallel EN$；又 $AB\parallel EF$，得 $EN\parallel EF$，两直线同过 $E$，故 $N\in EF$；而 $N\in DF$，$DF\cap EF=\{F\}$，得 $N=F$，与 $N$ 为 $DF$ 中点矛盾。

✅【答案】

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(1) $MN=\sqrt{5}$；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）取 $G$ 为 $CD$ 的中点，连接 $MG$，$NG$。 正方形 $ABCD$ 边长为 $2$，$M$ 为 $AB$ 中点，故 $MG\parallel AD$，$MG\perp CD$，$MG=AD=2$。 因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $DCEF$，交线为 $CD$，且 $MG\subset$ 平面 $ABCD$，$MG\perp CD$，所以 $MG\perp$ 平面 $DCEF$，进而 $MG\perp GN$。 在 $△DCF$ 中，$G$，$N$ 分别为 $DC$，$DF$ 的中点，故 $GN\parallel CF$ 且 $GN=\frac{1}{2}CF=1$。 在 $\mathrm{Rt}△MGN$ 中，$MN=\sqrt{M{G}^2+G{N}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。 （2）反设直线 $ME$ 与 $BN$ 共面，设它们所在的平面为 $\pi$。 由于 $M$，$B$ 都在直线 $AB$ 上，故 $AB\subset \pi$。 又 $E$，$N$ 在平面 $DCEF$ 内，且 $\pi$ 与平面 $DCEF$ 不重合，所以 $\pi \cap$ 平面 $DCEF=EN$。 在正方形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$，而 $CD$ 是两平面的交线，所以 $AB\parallel$ 平面 $DCEF$。因为 $AB\subset \pi$，可得 $AB\parallel EN$。 又在正方形 $DCEF$ 中 $CD\parallel EF$，故 $AB\parallel CD\parallel EF$，于是 $EN\parallel EF$。 但直线 $EN$ 与 $EF$ 都经过点 $E$，这将导致 $N\in EF$。同时 $N\in DF$，而 $DF\cap EF=\{F\}$，故只能 $N=F$，与 $N$ 是 $DF$ 的中点矛盾。 所以直线 $ME$ 与 $BN$ 不共面，它们是异面直线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的性质与反证法

核心方法：构造直角三角形求长度 + 反证法证异面

避坑指南：反证的核心一步：$EN\parallel EF$ 且两直线同过点 $E$，只能重合，于是 $N\in EF$；结合 $N\in DF$ 与 $DF\cap EF=\{F\}$ 推出 $N=F$，与中点身份矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直性质定理 + 中位线 + 反证法是立体几何综合题三板斧。

结论推广：$MG\perp CD$ 且 $MG\subset$ 垂直于另一平面的平面内 $\Rightarrow MG\perp$ 平面 $DCEF$。

方法推广：证异面常用”反设共面 $\Rightarrow$ 平面交线 $\Rightarrow$ 平行传递 $\Rightarrow$ 矛盾”，逻辑链条要完整。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2009-大纲卷I文-09 单-三棱柱异面直线