2008-辽宁卷文-14 填-球面距离与球心距

本题导读

$R=\sqrt{3}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$，$AC=2R\sin \frac{\theta }{2}=\sqrt{3}$；截面圆半径 $r=\frac{AC\cdot BC\cdot AB}{4S_{△ABC}}$ 配合 $d^2=R^2-r^2$，得 $d=\frac{3}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 在体积为 $4\sqrt{3}\pi$ 的球的表面上有 $A$，$B$，$C$ 三点，$AB=1$，$BC=\sqrt{2}$，$A$，$C$ 两点的球面距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，则球心到平面 $ABC$ 的距离为　　　.

🔍【思路分析】

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先由体积定球半径；球面距离 $=$ 半径 $\times$ 球心角（弧度），反解出 $\angle AOC$；再由弦长与球心角关系定 $AC$，最后用球心到截面距离公式.

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由球体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi$，解得 $R^3=3\sqrt{3}$，即 $R=\sqrt{3}$． $A$、$C$ 两点的球面距离为 $R\cdot \angle AOC=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，所以 $\angle AOC=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi ÷\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$．由弦长公式 $AC=2R\sin \frac{\angle AOC}{2}=2\sqrt{3}\cdot \sin \frac{\pi }{6}=2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\sqrt{3}$． 在 $△ABC$ 中，$AB=1$，$BC=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3}$，满足 $A{B}^2+B{C}^2=1+2=3=A{C}^2$，故 $\angle ABC=90^{\circ }$，$△ABC$ 的外接圆半径 $r=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$（斜边 $AC$ 为直径）． 球心到平面 $ABC$ 的距离 $d$ 满足 $d^2=R^2-r^2=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，所以 $d=\frac{3}{2}$． （$△ABC$ 的外接圆即截面圆，$AC$ 为其直径，$r=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入即得.）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的体积、球面距离与球心到平面距离

核心方法：由体积定半径，由球面距离定球心角，弦长定截面圆半径，最后用 $d^2=R^2-r^2$

避坑指南：球面距离 $=R\cdot \theta$（$\theta$ 为弧度），$\theta =\frac{\pi }{3}$ 别与角度混淆；$△ABC$ 是直角三角形（$1^2+(\sqrt{2}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2$），截面圆半径是斜边 $AC$ 的一半，别用一般外接圆公式硬算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材球的体积、球面距离与截面

结论推广：$V=\frac{4}{3}\pi R^3$；球面距离 $=R\theta$；截面圆半径 $r=\sqrt{R^2-d^2}$

方法推广：球面距离是球面上最短路径（大圆劣弧），不是弦长；截面圆半径、球半径、球心到截面距离构成直角三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积