2008-辽宁卷文-19 解-正方体截面垂直与定值

本题导读

$P(0,0,b)$、$Q(1,0,b)$，平面 $PQEF$ 法向量 $n_1=(0,1,1)$，平面 $PQGH$ 法向量 $n_2=(0,-1,1)$，$n_1\cdot n_2=0$；(2)$S_{PQEF}=b\sqrt{2}$、$S_{PQGH}=(1-b)\sqrt{2}$，和 $=\sqrt{2}$；(3)$b=\frac{1}{2}$ 时 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，$AP=BQ=b$（$0<b<1$），截面 $PQEF\parallel A^{\prime }D$，截面 $PQGH\parallel A{D}^{\prime }$．

(1)证明：平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 互相垂直；

(2)证明：截面 $PQEF$ 和截面 $PQGH$ 面积之和是定值，并求出这个值；

(3)若 $b=\frac{1}{2}$，求 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQEF$ 所成角的正弦值．

🔍【思路分析】

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(1)用空间向量：写出 $P$、$Q$ 坐标，由截面方向向量确定两个平面法向量，点积为零即垂直. (2)截面是矩形，面积 $=$ 底 $\times$ 高，两截面面积都只含 $b$ 或 $1-b$，相加消去 $b$. (3)线面角正弦 $=$ 方向向量与法向量夹角余弦的绝对值.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)面积之和为定值 $\sqrt{2}$；(3)$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$D(0,1,0)$，$A^{\prime }(0,0,1)$，$B^{\prime }(1,0,1)$，$C^{\prime }(1,1,1)$，$D^{\prime }(0,1,1)$．由 $AP=BQ=b$，得 $P(0,0,b)$，$Q(1,0,b)$，所以 $\overrightarrow{PQ}=(1,0,0)$．又 $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,1,1)$． 设平面 $PQEF$、平面 $PQGH$ 分别为 ${\Pi }_1$、${\Pi }_2$，由平行关系，${\Pi }_1$ 的一个法向量可取 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,1)$，${\Pi }_2$ 的一个法向量可取 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0,-1,1)$．因为 ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0+(-1)+1=0$，所以 ${\Pi }_1\perp {\Pi }_2$，即平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 互相垂直． (2)平面 ${\Pi }_1$ 过点 $P$，且包含方向向量 $\overrightarrow{PQ}$ 和 $\overrightarrow{A^{\prime }D}$，故其方程为 $y+z=b$．它与底面 $z=0$ 的交线为 $EF$，其中 $E(1,b,0)$，$F(0,b,0)$，于是 $PQ=1$，$QE=\sqrt{b^2+b^2}=b\sqrt{2}$，所以 $S_{PQEF}=PQ\cdot QE=b\sqrt{2}$． 平面 ${\Pi }_2$ 的方程为 $z-y=b$，它与顶面 $z=1$ 的交线为 $GH$，其中 $G(1,1-b,1)$，$H(0,1-b,1)$，于是 $PQ=1$，$QG=\sqrt{(1-b{)}^2+(1-b{)}^2}=(1-b)\sqrt{2}$，所以 $S_{PQGH}=PQ\cdot QG=(1-b)\sqrt{2}$．因此两截面面积之和为 $S_{PQEF}+S_{PQGH}=b\sqrt{2}+(1-b)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，是定值． (3)当 $b=\frac{1}{2}$ 时，$E\left(1,\frac{1}{2},0\right)$，所以 $\overrightarrow{D^{\prime }E}=\left(1,-\frac{1}{2},-1\right)$．平面 $PQEF$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,1)$．设直线 $D^{\prime }E$ 与平面 $PQEF$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{D^{\prime }E}\cdot {\mathbf{n}}_1|}{|\overrightarrow{D^{\prime }E}||{\mathbf{n}}_1|}=\frac{\left|0-\frac{1}{2}-1\right|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}+1}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体截面垂直与定值、线面角

核心方法：建系求法向量证垂直，截面面积相加消 $b$ 得定值，线面角正弦用法向量夹角余弦绝对值

避坑指南：截面 $PQEF$ 是矩形，面积 $=PQ\times QE=b\sqrt{2}$，别把 $QE$ 算成 $\sqrt{2}b$ 之外的量；(3)$\overrightarrow{D^{\prime }E}=\left(1,-\frac{1}{2},-1\right)$ 分量别漏负号，线面角取锐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材空间向量法解决垂直、定值与线面角

结论推广：法向量垂直证面面垂直；截面面积之和与参数无关得定值；$\sin \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|}$

方法推广：空间向量法四步：建系、定坐标、求法向量、算角；定值题要验证结果不含参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-辽宁卷文-19 解-面面垂直与反证异面
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定