2008-辽宁卷理-02 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和公式与数列极限的复合计算，着重考查未知量代数式的精简化简与极限基本运算法则。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+3+5+\cdots +(2n-1)}{n(2n+1)}=$ ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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1. 利用等差数列求和公式将分子化简为关于 $n$ 的单项式。
2. 展开分母后，通过分子分母同除以最高次项 $n^2$ 的方法求出数列的极限值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

分子为首项 $a_1=1$，公差 $d=2$ 的等差数列前 $n$ 项和， 其和为 $1+3+5+\cdots +(2n-1)=\frac{n[1+(2n-1)]}{2}=n^2$。 分母展开为 $n(2n+1)=2n^2+n$。 因此，原式 $={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2}{2n^2+n}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列求和公式，分式型通项在无穷远处的极限收敛性。
2. 核心方法：公式法与最高次项分析法。
3. 避坑指南：必须先对分子整体求和化简后再求极限，切不可在未求和前对各项分别求极限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于高等数学中数列极限的定义与级数前 $n$ 项和的衔接问题。
2. 结论推广: 对于一般形式，${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\sum }_{k=1}^n(2k-1)}{n(an+b)}=\frac{1}{a}$（其中 $a\ne 0$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和