2008-辽宁卷理-04 单-复数

本题导读

本题考查复数的四则代数运算与复数核心概念的辨析，侧重于分母实数化方法与虚部概念的准确界定。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 复数 $\frac{1}{-2+i}+\frac{1}{1-2i}$ 的虚部是 ()

A. $\frac{1}{5}i$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $-\frac{1}{5}i$　　　　　　D. $-\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对两个分式复数分别乘以分母的共轭复数进行分母实数化。
2. 合并同类项化为复数的标准形式 $a+bi$。
3. 根据虚部的定义提取其系数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{-2+i}=\frac{-2-i}{(-2+i)(-2-i)}=\frac{-2-i}{4+1}=-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$； $\frac{1}{1-2i}=\frac{1+2i}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{1+2i}{1+4}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$。 两式相加得： $\left(-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\right)=\left(-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\right)+\left(-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\right)i=-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}i$。 根据复数概念，其虚部为 $\frac{1}{5}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数的使用，分母实数化操作，复数基本概念。
2. 核心方法：分母实数化法。
3. 避坑指南：复数的虚部是一个实数（即 $bi$ 中的 $b$），结果绝对不能带有虚数单位 $i$，极易误选A或C。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 属于高考试卷的第一部分基础题型，旨在考查数系扩充后代数运算的准确度。
2. 结论推广: 若复数满足 $z=\frac{1}{-a+bi}+\frac{1}{b-ai}$ 且 $a,b\in \mathbf{R}$，则其代数和的形式具有对称化简特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2009-上海卷理-01 填-复数
• 2009-北京卷理-01 单-复数