2008-辽宁卷理-07 单-古典概型

本题导读

本题主要考查古典概型的概率计算以及简单的组合计数。考查核心在于将实际的抽卡片问题抽象为数学中的计数模型，并准确识别和奇数的数论特征。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 4张卡片上分别写有数字 1, 2, 3, 4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算从 4 张卡片中随机抽取 2 张的总基本事件数。
2. 分析两数之和为奇数的条件：必须是“一奇一偶”。
3. 计算满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式求出结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

从 4 张卡片中随机抽取 2 张，总的基本事件数 $N={\mathrm{C}}_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$。 在数字 1, 2, 3, 4 中，奇数有 1, 3（共 2 个），偶数有 2, 4（共 2 个）。 若抽出的 2 张卡片数字之和为奇数，则这两张卡片必须是一张奇数和一张偶数。 满足条件的基本事件数 $m={\mathrm{C}}_2^1\times {\mathrm{C}}_2^1=2\times 2=4$。 因此，所求概率 $P=\frac{m}{N}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型概率公式 $P=\frac{m}{N}$，两数之和奇偶性的数论性质。
2. 核心方法：组合计数法。对于小样本空间问题，亦可用列举法将所有可能一一列出（共6种：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4））。
3. 避坑指南：注意“随机抽取2张”属于不放回组合抽样，不考虑先后顺序，总数是 6 而不是 $4\times 4=16$ 或 $4\times 3=12$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于概率论初级阶段最典型的摸球/抽卡片古典概型问题，源于教材课后习题的直接变形。
2. 结论推广: 从包含 $n$ 个奇数和 $n$ 个偶数的 $2n$ 张卡片中任取 2 张，两数之和为奇数的概率通项为 $P=\frac{{\mathrm{C}}_n^1\cdot {\mathrm{C}}_n^1}{{\mathrm{C}}_{2n}^2}=\frac{2n}{2n-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

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• 2009-四川卷理-11 单-排列组合
• 2009-大纲卷II理-10 单-排列组合