2008-辽宁卷理-12 单-函数

本题导读

本题考查偶函数与单调性的综合应用。核心意图是利用偶函数的对称性及正半轴的严格单调性，将抽象函数方程等价转化为绝对值方程，再借助一元二次方程的判别式与韦达定理求解所有根的和。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且当 $x>0$ 时 $f(x)$ 是单调函数，则满足 $f(x)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$ 的所有 $x$ 之和为 ()

A. $-3$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $-8$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用偶函数的性质 $f(x)=f(|x|)$ 以及在 $(0,+\infty )$ 上的严格单调性，将函数方程 $f(u)=f(v)$ 转化为绝对值方程 $|u|=|v|$。
2. 脱去绝对值符号，分两种情况列出关于 $x$ 的一元二次方程，在验证根的存续性后，利用韦达定理求出所有根的和。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是连续的偶函数，且当 $x>0$ 时 $f(x)$ 是单调函数， 所以由 $f(u)=f(v)$ 可得 $|u|=|v|$。 已知方程为 $f(x)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$，则有： $|x|=\left|\frac{x+3}{x+4}\right|(x\ne -4)$ 分两种情况讨论： ① 当 $x=\frac{x+3}{x+4}$ 时， 变形得 $x(x+4)=x+3⟹x^2+3x-3=0$。 由于判别式 ${\Delta }_1=3^2-4\times 1\times (-3)=21>0$，且 $x=-4$ 不是该方程的根， 故该方程有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，由韦达定理得：$x_1+x_2=-3$。

② 当 $x=-\frac{x+3}{x+4}$ 时， 变形得 $x(x+4)=-(x+3)⟹x^2+5x+3=0$。 由于判别式 ${\Delta }_2=5^2-4\times 1\times 3=13>0$，且 $x=-4$ 不是该方程的根， 故该方程有两个不相等的实数根 $x_3,x_4$，由韦达定理得：$x_3+x_4=-5$。

综上所述，所有满足条件的实数根 $x$ 的全集为 $\{x_1,x_2,x_3,x_4\}$， 其所有 $x$ 之和为 $(x_1+x_2)+(x_3+x_4)=-3+(-5)=-8$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用函数性质去掉抽象符号“$f$”的思想，一元二次方程根的分布与韦达定理。
2. 核心方法：双向转化法、分类讨论法。
3. 避坑指南：计算出韦达定理后，必须验证判别式 $\Delta >0$。若其中某个方程无解，则对应的根便不存在，盲目套用韦达定理相加极易落入陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由高中数学教材中“函数基本性质”的课后探究题改编而来，将分式线性变换（默比乌斯变换）与函数的奇偶单调性有机交汇。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 为偶函数且在 $(0,+\infty )$ 上严格单调，对于方程 $f(x)=f\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)$ ($c\ne 0$)，在其判别式均大于0且排除定义域空点的前提下，所有实根之和的通式为 $S=\frac{a-d}{c}+\frac{-a-d}{c}=-\frac{2d}{c}$。本题中 $d=4,c=1$，代入通式得 $-\frac{2\times 4}{1}=-8$，与解析完全吻合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项