2008-辽宁卷理-18 解-分布列

本题导读

本题考查概率与统计的基础应用题。第一问要求通过频数分布表直接计算样本频率；第二问要求将频率视为概率，在单周销售量相互独立的背景下，通过有目的的代数枚举组合出两周销售利润之和的分布列，并计算其数学期望。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示：

周销售量	2	3	4
频数	20	50	30

(1)根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；

(2)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，$\xi$ 表示该商品两周销售利润的和（单位：千元）.若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $\xi$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据频率 $=\frac{\text{频数}}{\text{总数}}$，直接代入总周数 100 进行点算。
2. 第二问：设第一周和第二周的销售量分别为 $X_1,X_2$，则总利润 $\xi =2(X_1+X_2)$。先确定 $\xi$ 的所有可能取值，再利用独立事件的乘法公式分别求出对应的概率，列出分布列，最后利用期望公式或期望的线性性质 $E(\xi )=2[E(X_1)+E(X_2)]$ 计算期望值。

✅【答案】

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（1）由频率等于频数除以总周数，得周销售量为2吨、3吨和4吨的频率分别为20100=0.2，50100=0.5，30

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)总周数为 $20+50+30=100$ 周。 周销售量为 2 吨的频率为 $\frac{20}{100}=0.2$； 周销售量为 3 吨的频率为 $\frac{50}{100}=0.5$； 周销售量为 4 吨的频率为 $\frac{30}{100}=0.3$。

(2)设第一周和第二周的销售量分别为 $X_1,X_2$（吨），则 $\xi =2(X_1+X_2)$。 由于 $X_1,X_2$ 的可能取值均为 $2,3,4$， 故 $\xi$ 的所有可能取值为：$8,10,12,14,16$。 根据各周销售量相互独立，各取值对应的概率计算如下： $P(\xi =8)=P(X_1=2,X_2=2)=0.2\times 0.2=0.04$； $P(\xi =10)=P(X_1=2,X_2=3)+P(X_1=3,X_2=2)=0.2\times 0.5+0.5\times 0.2=0.20$； $P(\xi =12)=P(X_1=2,X_2=4)+P(X_1=3,X_2=3)+P(X_1=4,X_2=2)=0.2\times 0.3+0.5\times 0.5+0.3\times 0.2=0.37$； $P(\xi =14)=P(X_1=3,X_2=4)+P(X_1=4,X_2=3)=0.5\times 0.3+0.3\times 0.5=0.30$； $P(\xi =16)=P(X_1=4,X_2=4)=0.3\times 0.3=0.09$。

所以 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	8	10	12	14	16
$P$	0.04	0.20	0.37	0.30	0.09

数学期望的计算： 方法一（利用分布列定义）： $E(\xi )=8\times 0.04+10\times 0.20+12\times 0.37+14\times 0.30+16\times 0.09=0.32+2.00+4.44+4.20+1.44=12.4$

方法二（利用期望的线性性质）： 单周销售量 $X_1$ 的数学期望为 $E(X_1)=2\times 0.2+3\times 0.5+4\times 0.3=3.1$ 吨。 单周期望利润为 $2\times 3.1=6.2$ 千元。 由于两周销售量独立同分布，则两周总利润的数学期望为 $E(\xi )=2\times 6.2=12.4$ 千元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：统计频率向概率的过渡，独立重复事件概率模型的构建，分布列的完整性判定（各概率之和为 1）。
2. 核心方法：

• 组合枚举法：在计算 $P(\xi =12)$ 等多分支情况时，必须保证全集不重不漏（如容易漏掉 $3+3$ 或将 $2+4$ 与 $4+2$ 混淆为同一种情况）。
• 线性期望简化法：利用 $E(A+B)=E(A)+E(B)$ 可以大幅度降低大题计算量。

3. 避坑指南：

• 随机变量 $\xi$ 代表的是利润而非销售量之和，各可能值必须乘以每吨的利润系数 2（例如将取值误写为 $4,5,6,7,8$）。
• 务必严谨规范地画出分布列表格，缺少表格在高考评卷中会遭遇扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于概率论与数理统计中“独立同分布随机变量序列之和”的经典离散数学模型，通过精简数据，演化为考查高中生应用数学知识解决实际经济效益期望的经典题型。
2. 结论推广: 若单周销量 $X$ 的期望为 $E(X)$，单吨利润为 $k$，则 $n$ 周的总利润 $\xi$ 的数学期望恒满足 $E(\xi )=n\cdot k\cdot E(X)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

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