2008-辽宁卷理-22 解-导数

本题导读

本题是2008年辽宁高考理科数学的压轴题。第一问通过具体参数代入，利用导数符号判断函数的严格单调性；第二问属于含参不等式恒成立问题，核心在于先提取端点的必要条件缩小参数范围，再利用导数证明该范围的充分性，从而实现逻辑闭环。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 设函数 $f(x)=\ln x-ax+\frac{1-a}{x}$ ($a\in \mathbf{R}$).

(1)当 $a=\frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)如果对所有的 $x\ge 1$，都有 $f(x)\le 0$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将 $a=\frac{1}{2}$ 代入并对函数求导，通分化简后观察导函数的符号特征，由此判定单调区间。
2. 第二问：根据 $f(x)\le 0$ 对所有 $x\ge 1$ 恒成立，由于 $x=1$ 在取值范围内，首先代入端点得到必要条件 $f(1)\le 0$，解出 $a\ge \frac{1}{2}$。随后在 $a\ge \frac{1}{2}$ 的前提下，利用导数分析函数在 $[1,+\infty )$ 上的单调性，证明其最大值即为 $f(1)$，从而确定必要条件即为充分条件。

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参数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

解：函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=\frac{-a{x}^2+x+a-1}{x^2}=\frac{(x-1)[1-a(x+1)]}{x^2}$

(1)当 $a=\frac{1}{2}$ 时，导函数为： $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)[1-\frac{1}{2}(x+1)]}{x^2}=\frac{(x-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)}{x^2}=-\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}$ 因为对任意 $x\in (0,+\infty )$ 且 $x\ne 1$，恒有 $f^{\prime }(x)<0$，且仅在 $x=1$ 时 $f^{\prime }(x)=0$。 所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递减。 故函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,+\infty )$，无单调递增区间。

(2)因为对所有的 $x\ge 1$，都有 $f(x)\le 0$ 恒成立， 令 $x=1$，则必须满足必要条件 $f(1)\le 0$。 代入得 $f(1)=\ln 1-a+(1-a)=1-2a\le 0⟹a\ge \frac{1}{2}$。

下面证明当 $a\ge \frac{1}{2}$ 时，对所有的 $x\ge 1$ 恒有 $f(x)\le 0$： 当 $x\ge 1$ 时， $x-1\ge 0$，且 $x+1\ge 2$。 因为 $a\ge \frac{1}{2}$，所以 $a(x+1)\ge \frac{1}{2}\times 2=1⟹1-a(x+1)\le 0$。 由此可知，当 $x>1$ 且 $a\ge \frac{1}{2}$ 时， $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)[1-a(x+1)]}{x^2}\le 0$ 故函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递减。 因此，当 $x\ge 1$ 时， $f(x)$ 的最大值为 $f(1)$。 由必要条件已知 $f(1)=1-2a\le 0$， 所以对任意 $x\ge 1$，恒有 $f(x)\le f(1)\le 0$。 综上所述，参数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数公式及因式分解化简，闭区间或半开区间上最值的求解，恒成立问题的逻辑推导。
2. 核心方法：

• 导数分解法：将导数分子进行因式分解，转换为 $(x-1)$ 与含参一次式乘积，便于分段讨论符号。
• 必要条件隔离法：面对端点处有定义的恒成立问题，优先带入端点值确定参数边界，可省去大量的分类讨论步骤。

3. 避坑指南：第一问求单调区间时，不能因为 $f^{\prime }(1)=0$ 而将区间断开写作 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty )$，由于在该点两侧导数符号不变且函数连续，应统一合并为一个区间 $(0,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中对对数律与分式综合函数的导数应用讨论。通过引入参数 $a$，将常规的曲线包络问题转化为讨论特定定义域边界上的极大值与取值边界。
2. 结论推广: 设 $f(x)=\ln x-ax+\frac{1-a}{x^k}$，当 $k=1$ 时，在 $x\ge 1$ 内 $f(x)\le 0$ 恒成立的充要条件为 $a\ge \frac{1}{2}$。当 $k$ 推广至任意正整数时，通过端点效应同样可以得到对应的参数截断值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式