2008-重庆卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查无理函数求最值的方法，通过代数变形（平方法）将其转化为二次函数的值域问题。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 已知函数 $y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $\frac{m}{M}$ 的值为 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出函数的定义域。
2. 将函数解析式两边平方，利用整体代换转化为二次函数求最值。
3. 考虑边界点求出最小值，考虑对称轴顶点求出最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{\begin{array}{l}1-x\ge 0\\ x+3\ge 0\end{array}$ 得函数的定义域为 $[-3,1]$。 将原式两边平方得： $y^2=(1-x)+(x+3)+2\sqrt{(1-x)(x+3)}=4+2\sqrt{-x^2-2x+3}=4+2\sqrt{4-(x+1{)}^2}$ 当 $x=-1\in [-3,1]$ 时，$-x^2-2x+3$ 取得最大值 4，此时 $y^2$ 取得最大值 $4+2\times 2=8$，故最大值 $M=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 当 $x=-3$ 或 $x=1$ 时，$-x^2-2x+3$ 取得最小值 0，此时 $y^2$ 取得最小值 $4+0=4$，故最小值 $m=\sqrt{4}=2$。 所以 $\frac{m}{M}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双根式无理函数的值域与最值。
2. 核心方法：平方法（或换元法、向量法）。
3. 避坑指南：求最值时必须先确定定义域，并在定义域边界和对称轴处验证最值是否能取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自代数不等式中 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的最值范围讨论。
2. 结论推广：对于函数 $y=\sqrt{a-x}+\sqrt{x-b}$ ($a>b$)，其最大值为 $\sqrt{2(a-b)}$，最小值为 $\sqrt{a-b}$，二者比值恒为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项