2008-重庆卷理-10 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的值域问题。若直接进行代数变形较为繁琐，可通过将代数式转化为单位圆上动点到已知定点距离的几何模型，利用直线的倾斜角范围快速求解。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 函数 $f(x)=\frac{\sin x-1}{\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}}$ 的值域是 ()

A. $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right]$　　　B. $[-1,0]$　　　C. $[-\sqrt{2},0]$　　　D. $[-\sqrt{3},0]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察分母中的代数式，可将其与两点间距离公式进行关联。
2. 设 $P(\cos x,\sin x)$ 为单位圆上的动点，$A(1,1)$ 为平面上的定点，发现分母恰为线段 $PA$ 的长度。
3. 将原函数式转化为直线 $PA$ 倾斜角的正弦值，通过求切线边界来确定正弦值的范围。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $X=\cos x,Y=\sin x$，则点 $P(X,Y)$ 在单位圆 $X^2+Y^2=1$ 上运动。 考虑定点 $A(1,1)$，动点 $P$ 与定点 $A$ 之间的距离为： $|PA|=\sqrt{(X-1{)}^2+(Y-1{)}^2}=\sqrt{X^2-2X+1+Y^2-2Y+1}=\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}$ 由此，原函数可化为几何形式： $f(x)=\frac{Y-1}{|PA|}$ 此代数式表示从点 $A(1,1)$ 向单位圆上的动点 $P(X,Y)$ 引向量 $\overrightarrow{AP}$，该向量与 $X$ 轴正方向夹角 $\alpha$ 的正弦值（即 $\sin \alpha$）。 过点 $A(1,1)$ 向单位圆引两条切线：

1. 切线一为水平线 $Y=1$，切点为 $(0,1)$，此时向量 $\overrightarrow{AP}$ 方向水平向左，倾斜角 $\alpha =\pi$，$\sin \alpha =0$；
2. 切线二为垂直线 $X=1$，切点为 $(1,0)$，此时向量 $\overrightarrow{AP}$ 方向垂直向下，倾斜角 $\alpha =\frac{3\pi }{2}$，$\sin \alpha =-1$。 由于动点 $P$ 在单位圆上连续运动，向量 $\overrightarrow{AP}$ 的倾斜角 $\alpha$ 介于 $\pi$ 与 $\frac{3\pi }{2}$ 之间，其正弦值 $\sin \alpha$ 连续取遍 $[-1,0]$ 内的所有实数。 因此，函数 $f(x)$ 的值域为 $[-1,0]$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代数式中三角函数与解析几何坐标公式的相互转换。
2. 核心方法：数形结合法，将复杂的无理三角分式转化为圆的切线与向量投影问题。
3. 避坑指南：若采用切点带入或单点特殊值代入（如 $x=-\frac{\pi }{2}$ 得 $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$），容易误选 A，必须从整体图形轨迹范围来判定极值边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于解析几何中利用斜率或三角比研究圆外一点与圆上动点连线几何特性的经典模型。
2. 结论推广：形如 $f(x)=\frac{\sin x-b}{\sqrt{a^2+b^2+1-2a\cos x-2b\sin x}}$ 的函数，其本质是单位圆上动点到定点 $(a,b)$ 的方向向量的分量投影。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数