2008-重庆卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，解题核心在于通过已知边角关系进行合理的边角互化与参数消元。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $A=60^{\circ },c=3b$. 求：

(1) $\frac{a}{c}$ 的值；

(2) $\cot B+\cot C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：已知 $A=60^{\circ }$ 及 $c=3b$，直接代入余弦定理中建立 $a$ 与 $b,c$ 的齐次关系式，消去 $b$ 即可解得 $\frac{a}{c}$。
2. 第(2)问：利用余弦定理与正弦定理分别求出 $\sin B,\cos B$ 和 $\sin C,\cos C$，再根据商数关系求出 $\cot B$ 与 $\cot C$ 的值相加。

✅【答案】

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由余弦定理，𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴=𝑏2+9𝑏2−2𝑏⋅3𝑏⋅12=7𝑏2.由于𝑐=3𝑏，所以

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由余弦定理得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。 将 $A=60^{\circ }$ 和 $b=\frac{1}{3}c$ 代入上式得： $a^2={\left(\frac{1}{3}c\right)}^2+c^2-2\cdot \left(\frac{1}{3}c\right)\cdot c\cdot \cos 60^{\circ }$ $a^2=\frac{1}{9}{c}^2+c^2-\frac{1}{3}{c}^2=\frac{7}{9}{c}^2$ 因为 $a>0,c>0$，所以 $a=\frac{\sqrt{7}}{3}c$，即 $\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{7}}{3}$。

(2) 由(1)可知，可设 $b=1$，则 $c=3$，$a=\sqrt{7}$。 由余弦定理得： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{7+9-1}{2\times \sqrt{7}\times 3}=\frac{15}{6\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}$ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{7+1-9}{2\times \sqrt{7}\times 1}=-\frac{1}{2\sqrt{7}}$ 由同角三角函数平方关系得： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{25}{28}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{28}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ 所以： $\cot B=\frac{\cos B}{\sin B}=\frac{\frac{5}{2\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$ $\cot C=\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{-\frac{1}{2\sqrt{7}}}{\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}}=-\frac{1}{3\sqrt{3}}$ 故 $\cot B+\cot C=\frac{5}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{14}{3\sqrt{3}}=\frac{14\sqrt{3}}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的基本运算、同角三角函数的商数与平方关系。
2. 核心方法：设元法/特值法。在求比例或三角函数值时，将 $b=1,c=3,a=\sqrt{7}$ 作为特值代入可极大地简化代数运算量。
3. 避坑指南：计算 $\cos C$ 时其结果为负值（表明 $C$ 为钝角），在后续计算 $\cot C$ 时务必保留负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中解三角形大题的经典设问方式，重点考查边角基本功。
2. 结论推广：在 $△ABC$ 中，已知角 $A$ 且 $c=kb$，则 $\cot B+\cot C=\frac{k^2-2k\cos A+1}{k\sin A}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数