2015-陕西卷理-14 填-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的准线方程与双曲线的焦点坐标。通过建立准线方程与焦点横坐标的等量关系，求解抛物线参数 $p$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 若抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的准线经过双曲线 $x^2-y^2=1$ 的一个焦点，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定抛物线准线：根据抛物线标准方程 $y^2=2px$，写出其准线方程。
2. 确定双曲线焦点：识别双曲线 $x^2-y^2=1$ 的基本量 $a,b,c$，求出焦点坐标。
3. 建立等量关系：由于准线经过焦点，且准线为垂直于 $x$ 轴的直线，这意味着准线的横坐标等于其中一个焦点的横坐标。
4. 求解参数：解出关于 $p$ 的方程。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求抛物线的准线方程 对于抛物线 $y^2=2px(p>0)$，其开口向右，准线方程为： $x=-\frac{p}{2}$

第二步：求双曲线的焦点坐标 双曲线方程为 $x^2-y^2=1$，这是一个等轴双曲线。 其中 $a^2=1$，$b^2=1$。 根据双曲线的性质 $c^2=a^2+b^2$，得： $c^2=1+1=2⟹c=\sqrt{2}$ 其焦点位于 $x$ 轴上，坐标为 $F_1(-\sqrt{2},0)$ 和 $F_2(\sqrt{2},0)$。

第三步：建立等量关系并求解 因为抛物线的准线 $x=-\frac{p}{2}$ 经过双曲线的一个焦点。 易知，由于 $p>0$，则 $-\frac{p}{2}<0$，故准线经过左焦点 $F_1(-\sqrt{2},0)$。 有方程： $-\frac{p}{2}=-\sqrt{2}$ 解得： $p=2\sqrt{2}$

答案：$2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线 $y^2=2px$ 的准线 $x=-\frac{p}{2}$；双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点关系 $c^2=a^2+b^2$。
• 核心方法：特征量匹配法。将几何位置关系（经过点）转化为坐标特征（横坐标相等）。
• 避坑指南：
  1. 误记抛物线准线：注意 $y^2$ 型准线是 $x=\dots$，且符号与焦点相反。
  2. 误记双曲线 $c$ 的计算公式：双曲线是 $c^2=a^2+b^2$，椭圆是 $a^2=b^2+c^2$，极易混淆。
  3. 忽略 $p>0$ 的限制：若忽略此条件，可能会由于准线过右焦点导致 $p$ 算出负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$，其离心率 $e$ 恒等于 $\sqrt{2}$。 *方法推广: 解决圆锥曲线组合问题时，第一步永远是写出各自的基本特征量（准线、焦点、顶点、渐近线等）。

• 相关知识点：抛物线的焦点坐标 $(\frac{p}{2},0)$、双曲线的渐近线方程 $y=\pm x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-11
• 2012年陕西卷理-11
• 2014-陕西卷理-20 解-椭圆定义与性质