2007-陕西卷文-19 解-线面垂直二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle ABC=90^{\circ }$，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=3$，$AD=2$，$AB=2\sqrt{3}$，$BC=6$． （1）求证：$BD\perp$ 平面 $PAC$； （2）求二面角 $P-BD-A$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. 建系：令 $B$ 为原点，$BC$ 沿 $x$ 轴正方向，$BA$ 沿 $y$ 轴正方向，$PA$ 沿 $z$ 轴正方向。
2. 写出各点坐标，算 $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AC}$。 3.（1）证 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AP}=0$、$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$，且 $AP,AC$ 相交。 4.（2）求平面 $ABD$ 与平面 $PBD$ 的法向量，算夹角。

✅【答案】

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（1）证明见解析；（2）$60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建立空间直角坐标系，令 $B$ 为原点，$BC$ 沿 $x$ 轴正方向，$BA$ 沿 $y$ 轴正方向，$PA$ 沿 $z$ 轴正方向，则 $A=(0,2\sqrt{3},0)$，$B=(0,0,0)$，$C=(6,0,0)$，$D=(2,2\sqrt{3},0)$，$P=(0,2\sqrt{3},3)$． 于是 $\overrightarrow{BD}=(2,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AP}=(0,0,3)$，$\overrightarrow{AC}=(6,-2\sqrt{3},0)$． $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=2\times 6+2\sqrt{3}\times (-2\sqrt{3})=12-12=0$． 因 $AP$ 与 $AC$ 是平面 $PAC$ 内两条相交直线，故 $BD\perp$ 平面 $PAC$． （2）平面 $ABD$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$，平面 $PBD$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BP}=(2,2\sqrt{3},0)\times (0,2\sqrt{3},3)=(6\sqrt{3},-6,4\sqrt{3})$． 两平面夹角的余弦 $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2+(-6{)}^2+(4\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$， 故二面角 $P-BD-A$ 的大小为 $\theta =60^{\circ }$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直二面角

核心方法：建系 $B$ 原点、$BC/BA/PA$ 为三轴，证 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ 且 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=0$；二面角用法向量夹角

避坑指南：证线面垂直需”线垂直于面内两条相交直线”，缺”$AP,AC$ 相交”不完整；二面角取法向量夹角的余弦，锐二面角取绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于线面垂直的判定与二面角的求法，教材”直线与平面垂直""二面角”综合题

结论推广：一般化：证线面垂直需线垂直于面内两条相交直线；二面角用向量法求法向量夹角

方法推广：建系找两两垂直的三条棱（本题 $BC,BA,PA$），坐标法求二面角最规范

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-19 解-棱台垂直与二面角
• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角
• 2010-陕西卷文-18 解-四棱锥垂直夹角