2008-陕西卷理-10 单-线性规划

本题导读

本题以现代通信中的纠错码（异或运算）为背景，考查对新定义运算规则的理解应用、严谨的逻辑校验与代数运算本领。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 $a_0{a}_1{a}_2$，$a_i\in \{0,1\}$ ($i=0,1,2$)，传输信息为 $h_0{a}_0{a}_1{a}_2{h}_1$，其中 $h_0=a_0\oplus a_1$，$h_1=h_0\oplus a_2$，$\oplus$ 运算规则为：$0\oplus 0=0$，$0\oplus 1=1$，$1\oplus 0=1$，$1\oplus 1=0$.例如原信息为 $111$，则传输信息为 $01111$.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 ()

A. 11010　　　　　B. 01100　　　　　C. 10111　　　　　D. 00011

🔍【思路分析】

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1. 理解新定义运算 $\oplus$ 的本质（二进制异或运算，同为0，异为1）。
2. 明确合法传输码字 $h_0{a}_0{a}_1{a}_2{h}_1$ 的两个核心校验方程：$h_0=a_0\oplus a_1$ 且 $h_1=h_0\oplus a_2$。
3. 将四个选项的五位码字依次提取对应变量，带入校验方程，不符合方程组的即为“一定有误”的选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

接收到的信息对应五位编码 $h_0,a_0,a_1,a_2,h_1$：

• 对于 A：$11010⟹h_0=1,a_0=1,a_1=0,a_2=1,h_1=0$。校验：$1=1\oplus 0$（成立），$0=1\oplus 1$（成立），该码无误；
• 对于 B：$01100⟹h_0=0,a_0=1,a_1=1,a_2=0,h_1=0$。校验：$0=1\oplus 1$（成立），$0=0\oplus 0$（成立），该码无误；
• 对于 C：$10111⟹h_0=1,a_0=0,a_1=1,a_2=1,h_1=1$。校验：$1=0\oplus 1$（成立），但 $h_0\oplus a_2=1\oplus 1=0\ne h_1$，该码前后矛盾，一定有误；
• 对于 D：$00011⟹h_0=0,a_0=0,a_1=0,a_2=1,h_1=1$。校验：$0=0\oplus 0$（成立），$1=0\oplus 1$（成立），该码无误。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义算法性质（异或逻辑）。
2. 核心方法：位置对应法与方程校验法。
3. 避坑指南：极易由于粗心数错五位数字与 $h_0,a_0,a_1,a_2,h_1$ 的对应位置，必须严格遵循题干中给出的排列顺序进行校验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题背景取自计算机科学与信息论中的“奇偶校验码”与“汉明码”的前身设计，体现数学工具在信息产业中的应用。
2. 结论推广: 这一类属于关系群校验，无论编码如何冗长，只需提炼出各符号间的本原逻辑等式，便可通过逐一验证矛盾性完成检错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-07 填-线性规划开区域