2008-陕西卷理-11 单-函数

本题导读

本题是一道代数特征明显的抽象函数求值题。考查通过合理的函数构造将抽象递推关系转化为熟悉模型的能力。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ ($x,y\in \mathbf{R}$)，$f(1)=2$，则 $f(-3)$ 等于 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对原递推式进行恒等变形，尝试将交叉项 $2xy$ 与 $(x+y{)}^2$ 的展开式结合，进行配方。
2. 构造辅助函数 $g(x)=f(x)-x^2$，分析其是否具备柯西函数方程（正比例模型）的特征。
3. 确定辅助函数性质后，求出指定自变量对应的函数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

将原式变形为：$f(x+y)-(x+y{)}^2=f(x)-x^2+f(y)-y^2$。 构造辅助函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则上式可化为 $g(x+y)=g(x)+g(y)$。 由 $f(1)=2$ 得 $g(1)=f(1)-1^2=1$。 因为 $g(x+y)=g(x)+g(y)$，在有理数范围内满足 $g(n)=n\cdot g(1)$， 所以 $g(-3)=-3\times 1=-3$。 从而 $f(-3)=g(-3)+(-3{)}^2=-3+9=6$。 (另解：直接观察猜想符合题意的特例函数为 $f(x)=x^2+x$，代入可得 $f(-3)=(-3{)}^2+(-3)=6$)。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的递推性质、柯西函数方程性质。
2. 核心方法：消去多项式干扰的消项构造法、特殊函数代入法（小题适用）。
3. 避坑指南：避免盲目赋值导致算式繁琐冗长，看清 $2xy$ 的结构特征是向完全平方公式靠拢的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题原型为近代数学中的柯西泛函方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 的二次多项式扰动变式。
2. 结论推广: 凡是满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2kxy$ 且 $f(0)=0$ 的连续函数，均可构造 $g(x)=f(x)-k{x}^2$ 转化为线性函数关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项