2008-陕西卷理-18 解-分布列

本题导读

本题以射击测试为背景，考查概率论中相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望的求解，侧重基础概率模型的建立与数据计算能力。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第 $i$ 次击中目标得 $4-i$ ($i=1,2,3$) 分，3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响.

(1)求该射手恰好射击两次的概率；

(2)该射手的得分记为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：“恰好射击两次”意味着第一次射击未击中且第二次射击击中，利用独立事件概率乘法公式直接求解。
2. 第二问：首先确定随机变量 $\xi$ 的所有可能取值（0, 1, 2, 3），然后分别计算出各取值对应的事件概率，列出分布列，最后根据数学期望公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算出期望值。

✅【答案】

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因此𝑃(𝜉= 3) = 0

✍【详细解析】

Abstract

设该射手第 $i$ 次击中目标的事件为 $A_i$ ($i=1,2,3$)，则 $P(A_i)=0.8$，$P({\bar{A}}_i)=0.2$。

(1)设“该射手恰好射击两次”为事件 $B$，则该事件表示第一次未击中且第二次击中， 所以 $P(B)=P({\bar{A}}_1\cdot A_2)=P({\bar{A}}_1)\cdot P(A_2)=0.2\times 0.8=0.16$。 答：该射手恰好射击两次的概率为 0.16。

(2)随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3。

• 当 $\xi =3$ 时，表示第 1 次击中目标， $P(\xi =3)=P(A_1)=0.8$；
• 当 $\xi =2$ 时，表示第 1 次未击中且第 2 次击中目标， $P(\xi =2)=P({\bar{A}}_1\cdot A_2)=0.2\times 0.8=0.16$；
• 当 $\xi =1$ 时，表示前 2 次未击中且第 3 次击中目标， $P(\xi =1)=P({\bar{A}}_1\cdot {\bar{A}}_2\cdot A_3)=0.2\times 0.2\times 0.8=0.032$；
• 当 $\xi =0$ 时，表示 3 次均未击中目标， $P(\xi =0)=P({\bar{A}}_1\cdot {\bar{A}}_2\cdot {\bar{A}}_3)=0.2\times 0.2\times 0.2=0.008$。

所以随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3
$P$	0.008	0.032	0.16	0.8

数学期望为： $E(\xi )=0\times 0.008+1\times 0.032+2\times 0.16+3\times 0.8=0+0.032+0.32+2.4=2.752$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：终止射击模型（几何分布的变式）、独立性检验、分布列与数学期望。
2. 核心方法：按照工艺流程或时间顺序分析独立事件的发生状态。
3. 避坑指南：

• 极易将 $\xi =1$ 错算为整个三次中只中一次的组合情况（即误用二项分布模型 $C_3^{1}p(1-p{)}^2$），注意本题有“击中即终止”的限制，故第 3 次中意味着前 2 次必须不中；
• 算完分布列后，务必通过各概率之和是否等于 1 ($0.008+0.032+0.16+0.8=1$) 来进行自我检查。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中关于独立重复试验及离散型随机变量期望的经典练习题，属于高考中常见的闯关、射击等“终止型”概率应用大题。
2. 结论推广: 对于最多尝试 $n$ 次、单次成功率为 $p$ 且成功即终止的试验模型，其在第 $k$ ($k<n$) 次终止的概率恒为 $(1-p{)}^{k-1}p$，在第 $n$ 次终止（无论成功与否）的概率为 $(1-p{)}^{n-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-大纲卷I文-20 解-围棋连胜概率