2009-上海卷理-14 填-几何证明

本题导读

本题考查函数的现代定义（映射唯一性）、图形的几何旋转变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 将函数 $y=\sqrt{4+6x-x^2}-2(x\in [0,6])$ 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\theta (0\le \theta \le \alpha )$，得到曲线 $C$．若对于每一个旋转角 $\theta$，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 还原曲线几何本质：对原函数方程进行平方变形，识别出该曲线是以 $(3,-2)$ 为圆心，$\sqrt{13}$ 为半径的圆的一部分弧，且过原点 $(0,0)$ 与点 $(6,0)$。

2. 剖析函数判别准则：曲线能成为函数图象的充要条件是：该曲线上任意一点的切线均不能与 $x$ 轴垂直，即切线倾斜角不能达到或跨越 $90^{\circ }$。

3. 定位临界旋转角：随着图形逆时针旋转，曲线上各点的切线斜率整体同步逆时针旋转角 $\theta$。最先达到垂直边界的必然是原曲线上倾斜角最大的切线。通过求导算出原点处的最大初始倾斜角，做差即可求出最大允许旋转角 $\alpha$。

✅【答案】

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$arctan23.$

✍【详细解析】

Abstract

将原函数方程进行变形： $y+2=\sqrt{4+6x-x^2}$ 两边平方得： $(y+2{)}^2=4+6x-x^2⟹(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=13$ 由此可知，该图象是圆心在 $(3,-2)$，半径 $R=\sqrt{13}$ 的圆的一部分。 当 $x=0$ 时，$y=0$；当 $x=6$ 时，$y=0$。 由于根式非负性 $y+2\ge 0$，故该图象为圆上连接 $O(0,0)$ 与 $A(6,0)$ 的上方一段圆弧。

要使曲线旋转后依然是一个函数的图象，则在旋转过程中，曲线上任意一点的切线都不能与 $x$ 轴垂直。 原曲线方程为 $y=\sqrt{4+6x-x^2}-2$，求导得其切线斜率通式： $y^{\prime }=\frac{3-x}{\sqrt{4+6x-x^2}}$ 当 $x\in [0,6]$ 时，观察斜率的变化范围： 当 $x=0$ 时，切线斜率取得最大值 $k_{\max }=\frac{3}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$； 当 $x=6$ 时，切线斜率取得最小值 $k_{\min }=\frac{3-6}{\sqrt{4}}=-\frac{3}{2}$。

在原点 $O(0,0)$ 处，切线的初始倾斜角为 $\phi =\arctan \frac{3}{2}$。 当曲线绕原点逆时针旋转 $\theta$ 时，原点处的切线倾斜角将增大为 $\phi +\theta$。 为了保证曲线不发生“向左回折”（即保持为函数图象），该处的最大倾斜角不能超过直角 $\frac{\pi }{2}$。 处于临界状态时，有： $\phi +\alpha =\frac{\pi }{2}⟹\alpha =\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{3}{2}$ 根据反三角函数的互余关系公式 $\arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}$ 及 $\mathrm{arccot}x=\arctan \frac{1}{x}$，可得： $\alpha =\mathrm{arccot}\frac{3}{2}=\arctan \frac{2}{3}$ 故实数 $\alpha$ 的最大值为 $\arctan \frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的根本定义（一映射唯一性判别法）；导数几何意义中切线倾斜角的极值判定；反三角函数的恒等变形。

2. 核心方法：将抽象的“函数图象判定”转化为“动态几何图形切线倾斜角有界性”的数形结合思想。

3. 避坑指南：很多学生容易把圆弧上的点与原点连线的割线斜率当作研究对象，必须明确图象是否回折完全由微观的切线斜率决定，切线是割线的极限，只有控制住切线的旋转边界才能保证全局符合函数定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题完美契合了高等数学中“参数曲线表达为显函数 $y=f(x)$ 的条件”这一背景（即导数 $\frac{dx}{dt}\ne 0$）。是一道极具前沿高观点的高考创新压轴题。

2. 结论推广：对于任何一段光滑的单调函数曲线，若其两端点的切线斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2(k_1>k_2)$，则该曲线绕某点逆时针旋转后仍能表示为函数图象的最大旋转角恒为 $\alpha =\frac{\pi }{2}-\arctan (k_1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性