2008-广东卷理-13 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程的实际应用。通过将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标后，再逆向化为极坐标。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 已知曲线 $C_1,C_2$ 的极坐标方程分别为 $\rho \cos \theta =3,\rho =4\cos \theta$（$\rho \ge 0,0\le \theta <\frac{\pi }{2}$），则曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$，将两曲线方程化为直角坐标方程。
2. 联立方程组求出交点的直角坐标 $(x,y)$，结合 $\theta$ 的范围进行筛选。
3. 将交点的直角坐标重新化为极坐标 $(\rho ,\theta )$。

✅【答案】

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$\left(2\sqrt{3},\frac{\pi }{6}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

将曲线 $C_1:\rho \cos \theta =3$ 化为直角坐标方程为： $x=3$ 将曲线 $C_2:\rho =4\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$，化为直角坐标方程为： $x^2+y^2=4x$ 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x=3\\ x^2+y^2=4x\end{array}$ 将 $x=3$ 代入第二式得 $9+y^2=12⟹y^2=3⟹y=\pm \sqrt{3}$。 因为 $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$，说明交点在第一象限或 $x$ 轴正半轴，故 $y=\sqrt{3}$。 所以交点的直角坐标为 $(3,\sqrt{3})$。

将直角坐标化为极坐标： $\rho =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ $\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 由于 $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$，解得 $\theta =\frac{\pi }{6}$。 故交点的极坐标为 $\left(2\sqrt{3},\frac{\pi }{6}\right)$。

正确答案为：$\left(2\sqrt{3},\frac{\pi }{6}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式；极坐标系下点的一般表示。
2. 核心方法：直角坐标中转法（将平面极坐标问题转化为熟悉的直角坐标系解析几何问题求解）。
3. 避坑指南：求出 $y=\pm \sqrt{3}$ 时，必须结合题干中 $\theta$ 的取值范围 $0\le \theta <\frac{\pi }{2}$ 舍去第四象限的负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于选修系列中“坐标系与参数方程”的经典常考基础题。
2. 结论推广: 直线 $x=d$ 与圆 $(x-R{)}^2+y^2=R^2$ 在第一象限交点的极坐标满足 $\rho =2R\cos \theta$ 且 $\cos \theta =\frac{d}{\rho }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$(2\surd 3,\pi 6)$

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-10 填-极坐标
• 2009-上海卷理-18 单-极坐标
• 2009-辽宁卷理-22 解-极坐标