2009-上海卷理-22 解-函数

本题导读

本题考查反函数的概念与性质、互为反函数的充要条件。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 已知函数 $y=f^{-1}(x)$ 是 $y=f(x)$ 的反函数. 定义：若对给定的实数 $a(a\ne 0)$，函数 $y=f(x+a)$ 与 $y=f^{-1}(x+a)$ 互为反函数，则称 $y=f(x)$ 满足“$a$ 和性质”；若函数 $y=f(ax)$ 与 $y=f^{-1}(ax)$ 互为反函数，则称 $y=f(x)$ 满足“$a$ 积性质”.

(1) 判断函数 $g(x)=x^2(x>0)$ 是否满足“$1$ 和性质”，并说明理由；

(2) 求所有满足“$2$ 和性质”的一次函数；

(3) 设函数 $y=f(x)(x>0)$ 对任何 $a>0$ 满足“$a$ 积性质”，求 $y=f(x)$ 的表达式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 性质的代数转化： 设 $h(x)=f^{-1}(x)$。

• 对于“$a$ 和性质”：求出 $y=f(x+a)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)-a$。要使其与 $y=f^{-1}(x+a)$ 互为反函数，由于反函数唯一，必有： $f^{-1}(x+a)=f^{-1}(x)-a⟺h(x+a)=h(x)-a(\text{关系式(1)})$
• 对于“$a$ 积性质”：求出 $y=f(ax)$ 的反函数为 $y=\frac{1}{a}{f}^{-1}(x)$。要使其与 $y=f^{-1}(ax)$ 互为反函数，同理必有： $f^{-1}(ax)=\frac{1}{a}{f}^{-1}(x)⟺h(ax)=\frac{1}{a}h(x)(\text{关系式(2)})$

2. 分步求解：

• 第一问：代入 $g^{-1}(x)=\sqrt{x}$ 验证关系式①在 $a=1$ 时是否恒成立。
• 第二问：设一次函数为 $f(x)=kx+b(k\ne 0)$，求出 $f^{-1}(x)$ 并代入关系式①（$a=2$），利用多项式恒等确定 $k,b$ 的取值。
• 第三问：对任意 $a>0$ 关系式②恒成立，利用特值法令 $x=1$ 构建函数方程，确定 $f^{-1}(x)$ 的解析式，进而求出 $f(x)$ 并注意定义域与值域的限制。

✅【答案】

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（1）当𝑥>0时，𝑔−1(𝑥)=√𝑥.若记𝑢(𝑥)=𝑔(𝑥+1)=(𝑥+1)2,𝑣(𝑥)=𝑔−1(𝑥+1)=√𝑥+1,则

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第一问求解

函数 $g(x)=x^2(x>0)$ 的反函数为 $g^{-1}(x)=\sqrt{x}(x>0)$。 若 $g(x)$ 满足“$1$ 和性质”，由关系式①，对任意 $x>0$ 均有： $g^{-1}(x+1)=g^{-1}(x)-1⟺\sqrt{x+1}=\sqrt{x}-1$ 取 $x=3$：

• 左边 $=\sqrt{3+1}=2$；
• 右边 $=\sqrt{3}-1$。 因为 $2\ne \sqrt{3}-1$，所以恒等式不成立。 故函数 $g(x)=x^2(x>0)$ 不满足“$1$ 和性质”。

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(2) 第二问求解

设所求一次函数为 $f(x)=kx+b(k\ne 0)$。 由 $y=kx+b$ 可得 $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{k}$。 若 $f(x)$ 满足“$2$ 和性质”，根据关系式①（此时 $a=2$），对定义域内任意 $x$ 恒有： $f^{-1}(x+2)=f^{-1}(x)-2$ 将反函数解析式代入上式得： $\frac{(x+2)-b}{k}=\frac{x-b}{k}-2$ 展开并整理： $\frac{x}{k}+\frac{2}{k}-\frac{b}{k}=\frac{x}{k}-\frac{b}{k}-2⟺\frac{2}{k}=-2$ 解得： $k=-1$ 此时参数 $b$ 可取任意实数。 故所有满足“$2$ 和性质”的一次函数为： $f(x)=-x+b(b\in \mathbb{R})$

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(3) 第三问求解

设 $h(x)=f^{-1}(x)$。因为 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，所以 $h(x)$ 的值域为 $(0,+\infty )$，即对任意在 $h(x)$ 定义域内的 $x$，均有 $h(x)>0$。 由于 $f(x)$ 对任何 $a>0$ 满足“$a$ 积性质”，根据关系式②，对任意 $a>0$ 及 $x$ 恒有： $h(ax)=\frac{1}{a}h(x)$ 在上式中令 $x=1$，得： $h(a)=\frac{h(1)}{a}$ 由于 $a>0$ 是任意正实数，将自变量 $a$ 替换为 $x$，即得： $h(x)=\frac{h(1)}{x}(x>0)$ 记常数 $C=h(1)$。因为当 $x>0$ 时，恒有 $h(x)>0$，所以必有 $C>0$。 由此得到反函数为： $f^{-1}(x)=\frac{C}{x}(C>0,x>0)$ 令 $y=\frac{C}{x}$，解得 $x=\frac{C}{y}$。 故所求函数的表达式为： $f(x)=\frac{C}{x}(C>0,x>0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求法及其映射的对称性，新定义概念的代数语言转译，函数方程的特值解法。
2. 核心方法：

• 等价转化法：本题最核心的台阶是将“$y=f(x+a)$ 与 $y=f^{-1}(x+a)$ 互为反函数”转化为代数式 $f^{-1}(x+a)=f^{-1}(x)-a$。避开了直接对含有抽象符号的式子求反函数的混乱。
• 特值代入法：在第(3)问中，面对含有双变量 $a$ 与 $x$ 的抽象恒等式，通过令 $x=1$ 将双变量转化为单变量，是解决抽象函数方程的经典手段。

3. 避坑指南：

• 忽视常数范围限制：在第(3)问最后，求出 $h(x)=\frac{C}{x}$ 后，极易遗漏对常数 $C$ 正负号的讨论。必须结合“$f(x)$ 的定义域为 $x>0$ 决定了反函数 $f^{-1}(x)$ 的值域为 $(0,+\infty )$”这一逻辑链条，推导出 $C>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题第(3)问具有深厚的**柯西函数方程（Cauchy’s Functional Equations）**背景。 满足 $h(ax)=\frac{1}{a}h(x)$ 的函数属于齐次函数（Homogeneous Function）的一种特例。在数理经济学和近代分析中，这类性质常被用于构建具有尺度不变性（Scale Invariance）的度量模型（如反比例函数及幂函数模型）。
2. 结论推广： 若定义 “$a$ 幂性质”：若 $y=f(x^a)$ 与 $y=f^{-1}(x^a)$ 互为反函数。 则同理可转化递推式为 $f^{-1}(x^a)=[f^{-1}(x){]}^a$。若 $f(x)$ 对任意 $a>0$ 均满足该性质，利用特值法可推导出 $f(x)=x^k$ 或 $f(x)=a^x$ 等幂指函数族。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性